Zeigen, ob eine Äquivalenzrelation gegeben ist:

Question

ich habe folgendes zu zeigen: p₅ = { (m,n) ∈ ℤ x ℤ | m * n ≥ - 1}

Eine ÄQR zeigt man, indem man Reflexivität, Symmetrie und Tranisitivität zeigt.

Reflexiv: m steht in Relation zu sich selbst. Allgemein gezeigt wäre das:
m * m ≥ -1 <=> m² ≥ -1, damit sollte das gezeigt sein (Jede quadrierte Zahl wird positiv).

Symmetrisch: Hier habe ich es etwas schwer. Die Symmetrie gilt unter der Eigenschaft
m * n ≥ - 1. Soweit so gut. Um die Symmetrie zu widerlegen reicht ein Beispiel.
Sei (1, -2) und (-2, 1), dann folgt 1 * (-2) ≥ - 1 und -2 * 1 ≥ -1 was offensichtlich falsch ist.
Habe ich damit die Symmetrie widerlegt? Immerhin sind (-2, 1) und (1, -2) nicht Element von p₅.

Transitivität: Hier kann man fast gleich vorgehen. (1, -1), (-1, -2) sind beide Element von p₅.
Jetzt nehmen wir noch (1, -2) hinzu. 1 * (-1) ≥ -1 stimmt. -1 * (-2) ≥ -1 stimmt ebenfalls.
Somit stehen die beiden schon einmal in Relation (aufgrund der Eigenschaft) zueinander.
Jetzt kommt 1 * -2 ≥ -1 was offensichtlich falsch ist und nicht Element von p₅.

Bei der Symmetrie bin ich mir unsicher, ich glaube mein Ergebnis stimmt nicht. Wie muss
Ich bei der Symmetrie vorgehen? Die Eigenschaft muss ich betrachten, oder?

Answer 1

Symmetrie: Wenn (m,n) ∈ p₅ dann (n,m) ∈ p₅. Dein Widerlegungsversuch scheitert daran, dass (1,-2) ∉ p₅ ist.

Stattdessen: Wenn (m,n) ∈ p₅, dann ist m·n ≥ -1. Wegen m·n = n·m ist dann auch n·m ≥ -1, also (n,m) ∈ p₅.

Transitivität: Wenn (m,n) ∈ p₅ und (n,p) ∈ p₅ dann (m,p) ∈ p₅. Gleiches Problem wie bei Symmetrie.

Comments

Alles klar, verstehe ich die Symmetrie richtig?
Wenn (m,n) ∈ p₅ ist, dann ist auch (n,m) ∈ p_5.
Mich stört hier nur, dass ich jedigliche Zahlen aus ℤ x ℤ nutzen darf,
und für (1, -2) und damit (-2, 1) wäre die Eigenschaft m * n ≥ -1 nicht erfüllt.

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> Mich stört hier nur, dass ich jedigliche Zahlen aus ℤ x ℤ nutzen darf.

Die Aussage "Wenn (1,-2) ∈ p₅, dann (-2,1) ∈ p₅" ist ja auch eine wahre Aussage. Das liegt daran, dass Aussagen der Form "Wenn A dann B" auf zwei Arten wahr sein können:

1. B ist wahr,
2. A ist falsch.
   

Wenn A falsch ist, dann kommt es also gar nicht auf den Wahrheitsgehalt von B an. Der interessante Fall ist der, wenn A wahr ist. Erst dann muss B wahr sein, damit "Wenn A dann B" wahr ist. Diesen Fall hast du in deinem Beweis gar nicht erwähnt.

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Ach stimmt. Verdammt, ich muss mehr auf die Beweisarten achten :-D

Vielen Danke oswald!! :-))