Ermitteln Sie die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung.

Question

Gegeben ist die folgende Matrix B

0     1     0,1

0,8     0     0

0   0,75   0,7 

Die Aufgabe lautet folgendermaßen: Ermitteln Sie die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung Vektor n = (n₁/n₂/n₃) ungleich (0/0/0) mit natürlichen Zahlen n₁, n₂ und n₃.

Answer 1

[0 - 1, 1, 0.1; 0.8, 0 - 1, 0; 0, 0.75, 0.7 - 1]·[a; b; c] = [0; 0; 0]

Löse das Gleichungssystem und erhalte

a = c/2

b = 2/5 * c

c = c

Mit c = 10 ergibt sich

a = 5 ; b = 4 ; c = 10

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Ich verstehe allerdings nicht, weshalb 0-1 statt 0 in der Matrix verwendet wird.

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Die Bedingung für einen Vixvektor ist

M * v = v

M * v = E * v

M * v - E * v = 0

(M - E) * v = 0

Man kann also von der Matrix die Einheitsmatrix abziehen und dann das homogene Gleichungssystem lösen.

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Gibt es auch einen anderen Lösungsweg?

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Muss ich bei dieser Aufgabe also einfach nur den Fixvektor berechnen?

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Ja. Es soll nur ein Fixvektor berechnet werden. Allerdings mit natürlichen Zahlen.

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Könnte ich die Matrix auch mit dem Vektor x (x₁/x₂/x₃) multiplizieren und gleich Vektor x (x₁/x₂/x₃) setzen?

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Ja. Das bedeutet doch die obige Zeile

M * v = v

Matrix * Vektor = Vektor

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Jetzt habe ich es verstanden

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Können Sie die Gleichung komplett ausführen und als Datei zB hochladen? Ich habe lange eingerechnetaber komme nnicht auf dieses Ergebnis! Bei mir kommt ständig a=0 b=0 c=0 raus..

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Wobei hast du denn genau Schwierigkeiten ? Gib doch mal deine Rechnung hier an.

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leider funktionkiert es nicht, meine rechnung hier hochzuladen.. und sie hier abzutippen würde zu lange dauern. jedenfalls kann ich die gleichung nicht lösen, weil alles immer auf das ergebnis a=0,b=0,c=0 hinausläuft.. aber mir ist klar, dass mir ohne meine Rechnung wahrscheinlich nicht weiter geholfen werden kann

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Rechne das einfach mal aus wenn du mutwillig für c den Wert 100 einsetzt.

Also vom Ansatz her

[0 - 1, 1, 0.1; 0.8, 0 - 1, 0; 0, 0.75, 0.7 - 1]·[a; b; 100] = [0; 0; 0] 

Was bekommst du dann heraus ?

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Wie kommen sie auf c=10? ich rechne die gesamte zeit an der Aufgabe rum aber bekomme immer 0,53 raus.

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Wenn es eine Pupulation mit stationärer Verteilung gibt ist auch jedes Vielfache dieser Verteilung eine stationäre Verteilung. Damit könntest du quasi eine unbekannte frei wählen.

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Aber woher weiß ich dann, dass es die kleinstmögliche ist?

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Damit meint man eine ganzzahlige Population.

Das ist so wie ein Bruch. Brüche sind normalerweise gekürzt anzugeben. d.h. wenn du 10/100 als Bruch bekommst schreibst du auch 1/10.

Genau so wie hier wenn du eine Population

[50, 40, 100]

heraus bekommst ist die kleinste ganzzahlige eben

[5, 4, 10]

Beides wären aber Populationen, die sich reproduzieren. Das könntest du ja mal testen.

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Habs jetzt ednlich verstanden

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Wie kommt man auf c=10?

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Ich habe als ergebnis oben

a = c/2

b = 2/5 * c 

c = c

d.h. du kannst c frei wählen. Dabei ist die kleinste ganze Zahl zu nehmen, dass a, b und c nachher ganzzahlig sind.