Beweisaufgabe zur stationärer Verteilung von Markov-Ketten.

Question

Aufgabe:

Ich habe zwei Markov-Ketten K und K# gegeben.

K = (G, P) ist eine beliebige Markov-Kette mit Graphen G = (V, E).

K# = (G#, P#)) eine Markov-Kette, mit dem Graphen G# = (V, E#),
wobei E# = E ∪ {(i, i) : i ∈ V }.

Sei die Übergangsmatrix gegeben durch P# = (1−ε) · P + ε · Ι .

I stellt hierbei die Einheitsmatrix dar und es gilt  0 < ε < 1.

Beweisen Sie:

σ ist eine stationäre Verteilung für K# ⇐⇒ σ ist eine stationäre Verteilung für K.

Problem/Ansatz:

Was ich bereits weiß:

Eine stationäre Verteilung σ ist Lösung des linearen Gleichungssystems
σ · P = σ.

Allerdings stehe ich bei der Lösung dieser Aufgabe voll auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich die Übergangsmatrix P# nutzen kann, um beide Beweisrichtungen "⇐" und "⇒" zu zeigen.

Würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

σ · P# = σ · ((1−ε) · P + ε · Ι)
           = σ · (1−ε) · P + σ · ε · Ι
           = (1−ε) · σ · P + σ · ε · Ι
           = (1−ε) · σ + σ · ε · Ι
           = (1−ε) · σ · Ι + σ · ε · Ι
           = (1−ε + ε) · σ · Ι
           = σ · Ι
           = σ

Comments

Allerdings ist mir noch etwas aufgefallen: Wieso verschwindet das P aus der Gleichung nach der dritten Zeile und wie kommt man von σ · Ι auf σ (kann man argumentieren das Ι = P⁰ ?) ?

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Wieso verschwindet das P aus der Gleichung nach der dritten Zeile

Weil σ · P = σ ist.

wie kommt man von σ · Ι auf σ

I ist die Einheitsmatrix und deshalb neutral bezüglich Multiplikation.