Grenzwert berechnen unterschiedliches Ergebnis

Question

ich hätte da ein kleines Problem bei einer Aufgabe, die folgendermaßen lautet:
lim n->∞ (3*n^2/(1+3*n))+(n^2/(1-n))

Wenn ich die Brüche erst addieren und dann den Grenzwert berechne erhalte ich das richtige Ergebnis nämlich -4/3.

Wenn ich den Limes aber auf die Einzelterme ziehe erhalte ich aber eine ∞ - ∞ Situation. Wieso passiert das in diesem Fall? Bei Aufgaben ähnlicher Art konnte ich stets den Limes auf die Einzelterme ziehen und habe auch das richtige Ergebnis erhalten. Weiß jemand vielleicht woran das liegt?

Gruß und danke im Voraus.

Answer 1

Bilde doch hier mal den Grenzwert.

(x + 3)/2 - (x + 7)/2

Du wirst merken das du nicht die Grenzwerte der einzelnen Summanden nehmen kannst.

Comments

Ja, da hast du recht, aber jetzt würde ich gerne wissen, wieso das so ist? ^^

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Gegenfrage: Wieso sollte man das machen können/dürfen?

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Weil in dem Skript von meinem Professor steht, dass man den Limes auch auf die Einzelterme ziehen kann?

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Lies dir mal genau die Voraussetzungen und die Aussagen dieses Satzes durch. Und schau, ob die Voraussetzungen hier erfüllt sind.

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Du wirst ja festgestellt haben das der Grenzwert -2 ist

- 2

(3/2) - (7/2)

Nun kann ich ja in beiden Termen das gleiche addieren weil sich das doch insgesamt dann wieder aufhebt

(3/2 + x/2) - (7/2 + x/2)

Nun schön zusammenfassen

(x + 3)/2 - (x + 7)/2

Und den Schülern als Aufgabe geben.

Natürlich ist dieses noch zu einfach. Weil hier ja sogar die Nenner gleichnamig sind. Das war ja auch nur ein Beispiel warum das geht.

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Weil in dem Skript von meinem Professor steht, dass man den Limes auch auf die Einzelterme ziehen kann?

Wenn Du am Ende einen definierten Ausdruck heraus bekommst ist das Möglich

∞ + ∞ würde daher z.B. als Grenzwert ∞ haben

Dummerweise ist

∞ - ∞ aber nicht definiert. Da könnte sowohl -∞ als auch ein Grenzwert als auch +∞ heraus kommen.

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Man darf den Grenzwert bloß auf die Summanden aufteilen, falls die Summanden auch dann weiterhin einen Grenzwert besitzen. Das ist hier nicht der Fall weil beide gegen + oder - Unendlich dann divergieren. Also erst auf Hauptnenner bringen.

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@Der_MatheCoach: Stimmt, daran habe ich gar nicht gedacht. In dem Fall ist es echt nicht definiert. Würde dir gerne einen Daumen nach oben geben geht aber leider nicht als Gast.

@Gast be1300: Gut zu wissen, das merke ich mir so dann.

An alle hier, vielen danke für die nette Hilfe :-), ich glaube ich habe es jetzt verstanden.