Komplexe Zahlen: Überprüfung der Lösung. z^4 = 9/2 + (9/2 * √(3)) j

Question

Hi ich habe zwei Gleichungen:

$$ { z }^{ 4 }=\frac { 9 }{ 2 } +(\frac { 9 }{ 2 } \sqrt { 3 } )j $$

Ist:

$$ { z }^{ 4 }=\quad 9\angle \frac { \pi  }{ 3 }  $$

$$ { z }=\quad \sqrt [ 4 ]{ 9 } \angle \frac { \pi  }{ 12 }  $$

Dann sind z1, z2 z3 z4:

K = 0

 $$ { z1 }=\quad \sqrt [ 4 ]{ 9 } \angle \frac { \frac { \pi  }{ 3 } +k*2\pi  }{ 4 } $$

$$ { z1 }=\quad \sqrt [ 4 ]{ 9 } \angle \frac { \pi  }{ 12 }  $$

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So jetzt habe ich noch

$$ { z }^{ 8 }=1+j $$

Ist:

$${ z }^{ 8 }=\sqrt { 2 } \angle \frac { \pi  }{ 4 } $$

$${ z }=\sqrt [ 8 ]{ \sqrt { 2 }  } \angle \frac { \pi  }{ 32 } $$

Dann sind z1, z2 z3 z4:

K = 0

$${ z1}=\sqrt [ 8 ]{ \sqrt { 2 }  } \angle \frac { \frac { \pi  }{ 4 } +k*2\pi  }{ 8 } $$

Ist das soweit richtig gerechnet?

Answer 1

Komplexe Zahlen: Überprüfung der Lösung

Comments

Dann habe ich also soweit richtig gerechnet?

Mich wundert nur, dass bei meiner letzten nicht sowas schönes mit pi heraus kommt.

Wenn ich das jetzt per Hand zeichnen müsste, wie könnte man dann

1,673+0,448j ab einfachsten zeichnen?

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Gut wie ich das zeichne weiß ich jetzt. Die ersten 4 Gleichungen hab ich auch ;-)

Für die zweite Gleichung der 2 Aufgabe komme ich auf:

z1 = 1,0392+0,102j ist das richtig?

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ja das stimmt, ist aber nur eine Lösung, aber da die allg Formel richtig ist, ist wohl alles klar, denke ich.

Answer 2

     9  ^  1/4  =  sqr  (  3  )      (  1  )

    Im Übrigen lassen sich Kosinus und Sinus von 15 ° elementar rechnen. Pythagoras




       cos  ²  (  Pi / 12 )  +  sin  ²  ( Pi / 12 )  =  1      (  2a  )



     Und aus dem ===> Additionsteorem hast du




        sin  ( Pi / 6 )  =  2  sin  ( Pi / 12 )  cos  (  Pi / 12 )  =  1/2     (  2b  )




       Das Additionsverfahren  ( 2a ) + ( 2b ) führt auf die binomische Formel




       [   cos  (  Pi / 12 )  +  sin  ( Pi / 12 )  ]  ²  =  3/2     |  sqr   (  3a  )

           cos  (  Pi / 12 )  +  sin  ( Pi / 12 )        =  1/2  sqr  (  6  )     (  3b  )

       Entsprechend bekommst du mit dem Subtraktionsverfahren  ( 2a ) - ( 2b )

             cos  (  Pi / 12 )  -  sin  ( Pi / 12 )  =  1/2  sqr  (  2  )     (  4  )

     Das LGS ( 3b;4 ) ist zu lösen.

Answer 3

1. Vereinfache die Wurzeln.

^4√(9) = √3.

^8√(√2)) = ^16√2 .

2. z1 darf kein k rechts enthalten.

Alle deine z₁ musst du durch z_k ersetzen.

Wenn du dann explizit z1, z2,..... ausrechnen musst, ersetzt du k in der Formel durch 1, 2, 3,.... und addierst die Brüche dann noch sauber gemäss Bruchrechengesetzen. So vermeidest du unschöne Doppelbrüche.

Comments

Zur Zeichnung.

Was hindert dich daran einen Winkel, wie π/ 12 = 180° / 12 = 15°  zu zeichnen?

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=qJOIoWTLkGY

Dann von dort aus immer 2π/4 = 90° weiterdrehen und Winkel (Strahl) zeichnen.

Nun √3 mit Pythagoras konstruieren oder ausrechnen.

Zirkel nehmen. Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius √3 schneiden mit den vorhandenen Strahlen.

fertig.