Liegt ein Skalarprodukt vor?

Question

Bin mir bei diesem Beispiel etwas unklar:

C [-1,1] bezeichnet den Vektorraum aller auf [-1,1] stetigen Funktionen.

Entscheiden Sie ob ein Skalarprodukt auf C[-1,1] vorliegt:

$$ { <f,g> }_{ 0 }=\int _{ -1 }^{ 1 }{ f(x)g(x)\quad dx }   $$

$${ <f,g> }_{ 1 }=\int _{ -1 }^{ 1 }{ x*f(x)g(x)\quad dx } $$

$${ <f,g> }_{ 2 }=\int _{ -1 }^{ 1 }{ { x }^{ 2 }*f(x)g(x)\quad dx } $$

Also <f,g>₀ ist doch die Definition eines Skalarproduktes oder?

Und was bewirkt bei den anderen Beispielen das x bzw. x²? Liegt hier ebenfalls ein Skalarprodukt vor?

Gruß!

Comments

 \(\langle1{,}1\rangle_1=0\).

Answer 1

Ein Skalarprodukt ist linear, symmetrisch und positiv definit.

• linear: <f+g, h> = <f, h> + <g, h> für alle f, g, h
• symmetrisch: <f, g> = <g, f>
• positiv definit <f, f> ≥ 0,  <f, f> = 0 ⇔ f = 0
  

Das ist die Definition von Skalarprodukt.

Untersuche ob die angegebenen Verknüpfungen ebenfalls linear, symmetrische und positiv definit sind.

Beispiel: Linearität von <>₂:

\( \phantom{= }<f+g, h>_2 \\= \int_{-1}^{1}\left(x^2\cdot \left(f(x)+g(x)\right)\cdot h(x)\right) dx\\= \int_{-1}^{1} \left(x^2\cdot f(x)\cdot h(x)+x^2\cdot g(x)\cdot h(x)\right) dx \\= \int_{-1}^{1} x^2\cdot f(x)\cdot h(x) dx + \int_{-1}^{1} x^2\cdot g(x)\cdot h(x) dx \\= <f, h>_2 + <g, h>_2\)