Gleichung der Tangentialebene an Kurve

Question

:) Habe folgende Aufgabe vor mir: bestimme die Gleichung der Tangentialebene an die Kurve f im Punkt P:

1. (a)  f(x₁,x₂) = x_{1 *} √(x₂2−x₁),     P=(8,3) 

2. (b)  f(x,y) = e2xy+6y,      P = (−3, 1)

3. (c)  f(x1,x2)=ln(ax1−bx2+1),      P =(b,a)  ∈  D 

   Was sind die einzelnen Schritte um zur Lösung zu kommen?? 

Answer 1

Ich mach den vor :

(b)  f(x,y) = e^2xy+6y,      P = (−3, 1)  

Bilde partielle Ableitungen:f_x ' (x,y) =  2y*e^2xy        

f_y ' (x,y) =  2x*e^2xy+6   

also f_x ' (-3;1) =  2e^-6

und  f_y ' (x,y) =  -6*e^-6+6  

also sind zwei Spannvektoren der Ebene die Vektoren

( 1 ; 0 ;  2e^-6 )  und  ( 0 ; 1 ; -6*e^-6+6   )

also ein Normalenvektor  ( - 2e^-6 ;  6*e^-6 - 6 ; 1    )

und die Ebene geht durch den Punkt

( -3 ; 1 ;   e^-6 + 6 )

also E : - 2e^-6 *x   +(  6*e^-6 - 6 ) * y +  z  =  13e ^-6    

Comments

Was sind Spann- und Normalenvektoren??

und warum wird dann aus -6*e^-6+6  --> (6*e^-6 - 6 )??

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Scheints kennst du das mit den

Ebenengleichungen nicht. Dann versuche es

mal nach der Methode in

https://www.mathelounge.de/86690/bestimme-stelle-die-gleichung-tangentialebene-der-flache

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Könnt ihr mir bei c) helfen?

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f(x,y) = e^2xy+6y,     P = (−3, 1) 

Eine Gleichung der Tangentialebene an f ( x , y ) an der Stelle ( x0 , y0 ) = ( -3 , 1 ) ergibt sich durch das zweidimensionale Taylorpolynom erster Ordnung:

z = f ( -3 , 1 ) + f_x ( -3 , 1) ( x +3 ) + f_y ( -3 , 1 ) ( y - 1 )

Für f ( x ) = e^2xy+6y,   ist:

f_x = 2y*e^2xy  und    fy = 2x*e^2xy+6

An der Stelle (-3;1) gilt:

f ( -3 , 1 ) = e^-6  +6    und f_x ( -3 , 1 ) = -6e^-6  

und f_y ( -3 , 1 ) =   -6e^-6 + 6

Daraus ergibt sich das Taylorpolynom

z = e^-6 +6   -6e^-6  * ( x +3 ) +  ( -6e^-6 + 6) * ( y - 1 )

<=> z =  e^-6 +6  -6xe^-6  -18e^-6  -6ye^-6 + 6e^-6 +6y - 6

<=> z =  -11e^-6   -6xe^-6 +(6 -6e^-6 )y  

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Nein, das habe ich schon, meinte c)

Answer 2

  Hier ich find das voll witzig. Tangente an eine Kurve könnt ihr alle; aber schon in dem Konkurrenzportal ===> Ly cos ( wo ich übrigens viel näher am Schüler arbeite ) fiel mir auf, dass ihr bei einer TangentialEBENE versagt. Dabei ist das das Selbe in Grün; die Tangente y = g ( x ; x0 ) in x0 so wie die Tangentialebene z = E ( x , y ; x0 , y0 ) in ( x0 | y0 ) sind definiert als linearer Anteil der ===> Taylorentwicklung.
   Ach ich seh grad; in deiner Frage versteckt sich ein Missverständnis. z = f ( x ; y ) ist keine Kurve, sondern ein Gebirge im Raum; geeignete Online Plotter ermöglichen dir sogar, selbiges plastisch perspektivisch mit ===> verdeckten Kanten heraus zu malen. Rein anschaulich ist klar: Die Tangente an ein solches Gebirge ist natürlich keine Gerade, sondrn eine Ebene.
   Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel



      

     E ( x , y ; x0 , y0 )  :=  f  (  x0 , y0 )  +  (  x  -  x0  )  f_x  (  x0 , y0 )  +  (  y  -  y0  )  f_y  (  x0 , y0 )     (  1a  )





     Es scheint mir doch pädagogisch Sinn voll, zum Vergleich die Definition der gewöhnlichen Tangente g ( x ; x0 )  anzuschreiben, damit du siehst, dass nur ein Zusatzterm dazu kommt - statt der gewöhnlichen Ableitung bekommst du einen Gradienten.



      

              g ( x ; x0  )  :=  f  (  x0  )  +  (  x  -  x0  )  f  '  (  x0  )               (  1b  )




     Gleich der erste Term in ( 1a ) ist leicht.




            P  :=  (  8  |  3  )  ;  f  (  P  )  =  8     (  2a  )




     Jetzt zu den Ableitungen; Wurzeln Ableiten ist ein der Art rostiges, störanfälliges  Getriebe.
   Wenn wir sie weg quadrieren, hast du ein Polynom in den 3 Veränderlichen x , y und z ; na ist doch picobello .




          z  ²  =  x1  ²  x2  ²  -  x1  ³       (  2b  )




    Metode der Wahl ist ===> implizites Differenzieren von ( 2b ) ; sucht man nur isolierte Zahlenwerte so wie hier, kannst du dir das immer leisten.




     2  z  ( dz/dx1 )  =  2  x1  x2  ²  -  3  x1  ²         (  2c  )




     Einsetzen von ( 2a ) in ( 2c )




       2  *  8  ( dz/dx1 ) | P  =  2  *  8  *  3  ²  -  3  *  8  ²      |   :  2 * 8       (  2d  )

                  ( dz/dx1 ) | P  =  3  (  3  -  4  )  =  (  -  3  )       (  2e  )

      z  ( dz/dx2 )        =  x1  ²  x2           (  3a  )

      8  ( dz/dx2 ) | P  = 8  ²  *  3  ===>  ( dz/dx2 ) | P  =  24     (  3b  )




    So; jetzt alles, ( 2.a;e;3b )  ein füttern in ( 1a ) :




     E  =  8  -  3  (  x  -  8  )  +  24  (  y  -  3  )  =      (  4a  )

         =  24  y  -  3  x  -  40     (  4b  )



     1)  Aufg b) bietet keinerlei Schwierigkeiten.
     2) Bei der c) bietet sich wieder implizites Differenzieren an



    

      exp  (  z  )  =  a  x1  −  b  x  2  +  1        (  5  )


   3)  für die Richtigkeit der Ergebnisse wird keine Haftung übernommen; Fragen in dieser Richtung sind Zweck los.

  4) Verständnisfragen, Kritik und Anregungen - jeder Zeit.

Comments

   Hier herrscht die Verwaltungsvorschrift: Halte deine Antwort so einfach wie möglich.
   Kritik am Mathechef; wie du aus meiner Antwort ersiehst, brauchst du für diesen Typ Aufgabe das Konzept des Normalenvektors gar nicht.
   Der Mathechef verwirrt dich nur.