Vektor zu gegebenen Bedingungen finden: Orthogonal auf Vektor a und Länge √5.

Question

Ermittle zum Vektor a→ einen Vektor b→, der zu a→ orthogonal ist und die Länge b hat.

a→=

(5

-1

2)

b=Wurzel aus 5

Damit zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, muss das Skalarprodukt ja 0 sein, aber wie komme ich mit dieser Info weiter?

Answer 1

Nimm z.B. Vektor  c = ( 1 | 5 | 0) .

Der steht schon mal senkrecht auf Vektor a. Du weisst, wie du das prüfen kannst ?

Nun ist er aber c aber noch zu lang.

Berechne seine Länge

| c| = √26

Nun kannst du c durch |c| teilen, dann ist die Länge des Vektors 1. Dann noch mit √5 multiplizieren.

Daher

Vektor b = (√5 / √ 26) * ( 1|5|0) .

Anmerkung: Es gibt bei dieser Aufgabe eine Möglichkeit schneller einen orthogonalen Vektor mit der richtigen Länge anzugeben. Du findest die sicher selbst, wenn du meinen Weg mal verstanden hast.

Comments

wie kommst du auf den Vektor c?

Ich weiß nur: 5b₁ + (-1)b₂ + 2b₃

WIe kommt man von da auf dein Ergebnis?

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Also ich habe deinen Weg jetzt nachvollziehen können. Aber den schnelleren Weg habe ich nicht gefunden. Könntest du mir den bitte sagen, ich schreibe nämlich morgen eine Mathe-Klausur.

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Du meinst: 5c₁ + (-1)c₂ + 2c₃ = 0.Es wird vorerst nur irgendein orthogonaler Vektor (≠Nullvektor) bestimmt. 
Da kann man einen Teil der b_(i) frei wählen. 
z.B. c_(3) = 0 und c_(1) = 1.

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achso, okay, und wie findet man die richtige Länge auf dem "schnellen Weg"?

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Den schnelleren Weg hat Wolfgang gewählt. Ist aber Zufall, dass √(2^2 + 1^2) = √5 gerade so schön passt.

Answer 2

\( \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) • \( \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)  = 0

→  der letzte Vektor ist zu a orthogonal und sein Betrag ist √(0² + 2² + 1²) = √5

Gruß Wolfgang

 

 

Comments

wie kommst du auf den Vektor c?

Ich weiß nur: 5b₁ + (-1)b₂ + 2b₃

WIe kommt man von da auf dein Ergebnis?

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einen orthogonalen Vektor findet man, indem eine Koordinate = 0 setzt, die beiden anderen vertauscht und eines der beiden Vorzeichen ändert, weil dann das Skalarprodukt = 0 ist.

Auf einen Betrag B bringt man ihn, wenn man ihn durch seinen eigenen Betrag dividiert und dann mit B multipliziert. In der Aufgabe hatte der orthogonale Vektor zufällig bereits den gewünschten Betrag.

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ah, alles klar, danke!
Und wie finde ich die richtige Länge, möglichst auf schnellem weg?

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Betrag B ist die gesuchte Länge.

Answer 3

Wieso hat der Vektor (5/-1/2) (als Spalte geschrieben) die Länge 5?
Offensichtlich handelt es sich um ein Problem im Dreidimensionalen. Damit beginnen alle in Frage kommenden Vektoren im Punkt M(5/-1/2) und enden in einem Punkt auf dem Kreis um M mit dem Radius √30.