trigonometrische Umrechnung

Question

Hallo ich habe eine Frage zu einer Trigonometrischen Umformung .

für das Integral ∫1/cos(x) dx hab ich die Weierstraß Substitution gemacht

https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Substitution

ich würde gerne wissen wenn man t=tan(x/2) setzt dann ist dt/dx=(1+tan^2(x/2))/2 und dx=2dt/(1+tan^2(x/2))

wenn man hier einsetzt ∫1/cos(x) dx=∫(1/cos(2arcos(t))*(2/(1+t^2)dt

laut Weierstraß ist dann (1/cos(2arcos(t))=(1+t^2)/(1-t^2) .

ich kenne die Formel cos(arctan(x)=1/✓(1+x^2) jedoch wie kommt man darauf ? Ich weißt nicht was hier für "2arctan(x)" passiert wenn noch eine "2" dabei ist .

Habe ich mich wo verrechnet am Anfang , ich kann diese Substitution cot(x)=(1+t^2)/(1-t^2) nicht nachvollziehen oder anders gesagt nachrechnen .

Wäre dankbar für Hilfestellungen !

Answer 1

Weierstraß-Substitution

tan(x/2) = t

x/2 = arctan(t)

x = 2·arctan(t)

Damit ist dann

cos(x) = cos(2·arctan(t))

Nutze: cos(2·α) = 2·cos(α)^2 - 1

cos(x) = 2·cos(arctan(t))^2 - 1

Nutze: cos(arctan(x)) = 1/√(x^2 + 1)

cos(x) = 2·(1 / √(t^2 + 1))^2 - 1

cos(x) = 2·1 / (t^2 + 1) - 1

cos(x) = 2 / (t^2 + 1) - 1

cos(x) = 2 / (t^2 + 1) - (t^2 + 1) / (t^2 + 1)

cos(x) = (2 - (t^2 + 1)) / (t^2 + 1)

cos(x) = (2 - t^2 - 1) / (t^2 + 1)

cos(x) = (1 - t^2) / (t^2 + 1)

Damit ist dann

1/cos(x) = (t^2 + 1) / (1 - t^2)