Exponentialgleichung Lösungsweg unklar: 3^{x+1}+3^x = 20

Question

Ich kann den Lösungsweg (die im meinem Buch steht) der folgenden Exponentialgleichung nicht nachvollziehen:

\( 3^{x+1}+3^{x}=20 \)

\( 3 * 3^{x}+3^{x}=20 \)

\( 4 * 3^{x}=20 \)

und diesen letzten Schritt verstehe ich nicht. Woher kommt die 4?

Comments

3 Äpfel plus 1 Apfel macht 4 Äpfel?

Klammere in der zweiten Zeile 3^x aus.

Answer 1

3^{x+1} + 3^x = 20  | Potenzgesetz anwenden

3^x * 3^1 + 3^x = 20

3^x * 3 + 3^x = 20   | jetzt 3^x ausklammern

3^x * 3 + 3^x * 1 = 20

3^x * (3 + 1) = 20

3^x * ( 4 ) = 20

3^x * 4 = 20    | :4

3^x = 20:4

3^x = 5           | Logarithmus anwenden

ln(3^x) = ln(5)

x * ln(3) = ln(5)   | : ln(3)

x = ln(5) : ln(3)

x ≈ 1,46497

 

Und noch die Probe:

3^{x+1} + 3^x = 20

3^{1,46497+1} + 3^1,46497 = 20

3^2,46497 + 3^1,46497 = 20

15 + 5 = 20

Siehe auch Video Exponentialgleichungen: Einführung - Lösen mit Logarithmus