Diagonalisierbar Beweis

Question

Ich komme bei der folgenden Aufgabe auf keinen Grünen Zweig.

Seien λ_1,...,λ_n paarweise verschiedene Skalare in K mit det(A-λ_i*E_n) = 0 ∀i ∈ {1,...,n}. Beweisen Sie, dass A diagonalisierbar ist.

Gruss

Answer 1

deine Bedingung bedeutet, dass \(A\) also \(n\) verschiedene Eigenwerte besitzt, was wiederum bedeutet, dass du \(n\) linear unabhängige Eigenvektoren finden kannst, die eine Basis des zugrunde liegenden Vektorraums bilden.

Gruß

Comments

Danke für die Antwork Yakyu. Und wenn sich n linear unabhängige Eigenvektoren finden lassen, dann heisst das die Matrix A ist diagonalisierbar?

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Falls \(A\) eine \(n\times n \)-Matrix ist ja, denn du kannst dann mit Hilfe der \(n\) Eigenwerte und -vektoren die invertierbare Matrix \(S\) und \(D\) angeben, so dass \( A = S D S^{-1}\).