wie kann man die motonie ohne ableitung bestimmen?

Question

liebe Freunde !

wie kann man die Monotonie  ohne Ableitung rechnen und ihre Art bestimmen ?

fuer folgende :

1)  a_n= (n-1)*(n+1) / n

2)  a_n = 4/n *cos(n*π/3)

3) a_n= 1/ (2n- 101)

Answer 1

Es empfiehlt sich, die ersten paar Glieder hinzuschreiben, damit man eine Idee bekommt, wie's denn wohl so aussehen koennte. Wenn es z.B. so aussieht, als waere die Folge streng monoton wachsend, dann drueckt man sich die Daumen und schreibt \(a_{n+1}>a_n\) auf's Blatt. Die Vermutung ist dann natuerlich noch durch Rechnung zu bestaetigen.

Answer 2

Wenn a_n grundsätzlich größer ist, als a_n+1, ist die Folge streng monoton fallend. Bei Gleihheit ist sie konstant, sonst steigend.

Answer 3

Um Monotonie zu zeigen, berechnest du a_n+1 - a_n

ist dieser Wert stets größer Null, so ist die Folge monoton wachsend, ist der Wert stets kleiner Null dann monoton fallend.

Bsp:

a) a_n =n-1/n ; a_n+1 -  a_n  = n+1-1/(n+1)-n+1/n=1-1/(n+1)+1/n>=1 --> Monoton wachsend