Ich meine zum einen, dass Du \(\frac{\sin t}{t}\) in eine Reihe mit Potenzen von \(t-2\) und nicht von \(t\) entwickeln musst, falls Du partout diesen Weg verfolgen willst.
Zum anderen meine ich, dass Du nochmal Dein Hirn einschalten solltest. Der Grenzwert ist, so wie er in der Aufgabe steht, von der Form \(\frac{1}{0}\cdot0\). Da kann man dann L'Hospital drauf anwenden. Dazu interessiert, was das Integral für eine Ableitung hat. Das Integral selber interessiert nicht.