Ein kniffliger Grenzwert mit Hospital.

Question

Hallo ich solle den Grenzwert von :

berechnen.

der erste Faktor ist ∞*???? . ich muss dieses Integral berechnen damit ich dann vermutlich den Gw in 0/0 oder ∞/∞ umschreiben kann .

Jedoch was mache ich bei der genannten oberen Grenze x im Integral . Kann ich das normal integrieren wenn die laut limes variabel ist ?

Danke !

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ich habe noch vergessen zu fragen wie kann man dieses Integral dann lösen?

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\(\frac{\sin t}{t}\) hat keine elementare Stammfunktion, da brauchst Du nicht nach zu suchen. Du kannst also das Integral nicht "berechnen". Musst Du Dir was anderes ueberlegen.

Answer 1

Hi,

$$ \lim_{x\to2}\frac { \int_{2}^{x}\frac { sin(t) }{ t } dt}{ x-2 }= \lim_{x\to2}\frac { \int_{2}^{x} f(t)dt }{ x-2 }=\lim_{x\to2}\frac { F(x)-F(2) }{ x-2 }$$

L'Hospital anwenden:

$$ \lim_{x\to2}\frac { F(x)-F(2) }{ x-2 }=\lim_{x\to2}\frac { \frac { d }{ dx }(F(x)-F(2)) }{\frac { d }{ dx } (x-2 )}=\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}\frac { sin(x) }{ x }=\frac { sin(2) }{ 2 }$$

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Hi danke dir für deinen Lösungsweg habe schon erkannt worauf du mich aufmerksam machen wolltest .

Ich hätte das Integral nicht ausrechnen müssen wenn ich den Hauptsatz benutze ist F´(t)=f(t) wenn sin(t)/t stetig ist

was hier der Fall ist für t ungleich 0 . Wolltest du mir das sagen?

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Ich bin ein anderer Gast, das ist meine erste Antwort zu deiner Frage :)

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Oh ja ich danke dir auf jeden Fall !

War dies der wichtige Punkt hier mit der Stetigkeit und Hauptsatz? :)

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 Yup, das Wichtige ist, dass du erkennst, dass die Funktion stetig ist und du den Hauptsatz anwenden darfst, die Ableitung nach x die Ursprungsfunktion wieder herstellt und dass der Bruch die Form 0/0 ergibt und man L'Hospital anwenden darf. Das Ableiten und Grenzwert bilden ist danach nicht so schwer .

Answer 2

Du kannst sin(t)/t durch eine Taylorreihe darstellen

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe

also:

sin(t)/t = 1 -t^2/6 +t^4/120

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Hallo groesserloewe ,

danke dür den Tipp wenn ich dies Integriere habe ich : t- t^3/18 +t^5/600..........in den Grenzen von 2 bis x.

1/(x-2) *( x- x^3/18 +x^5/600...... -(2- 2^3+2^5/600)) sollte die Form "∞*0" für gegen 2. haben man kann dann die 0 Runter bringen , sodass steht  :

[1/(x-2)]/[1/( x- x^3/18 +x^5/600...... -(2- 2^3+2^5/600)] wie kann ich den hier weitermachen?

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Gar nicht. Du braeuchtest für den Integranden eine Entwicklung um 2, nicht um 0.

Die Aufgabe ist ein simpler Einzeiler in zwei Schritten, siehe unten.

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Du meinst das dieses Integral wieder genau die Potenzrreihe für den Sinus ergibt wenn man 1 mal ableitet da für t=2 alles Konstant ist und wegfällt.

Bleibt Potenzreihe SInus/(-1)= -Potenzrreihe sinus .

Was sagt das denn aus bitte ist das ein endlicher Wert ?

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Ich meine zum einen, dass Du \(\frac{\sin t}{t}\) in eine Reihe mit Potenzen von \(t-2\) und nicht von \(t\) entwickeln musst, falls Du partout diesen Weg verfolgen willst.

Zum anderen meine ich, dass Du nochmal Dein Hirn einschalten solltest. Der Grenzwert ist, so wie er in der Aufgabe steht, von der Form \(\frac{1}{0}\cdot0\). Da kann man dann L'Hospital drauf anwenden. Dazu interessiert, was das Integral für eine Ableitung hat. Das Integral selber interessiert nicht.

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Das integral abgeleitet ergibt doch wieder  die Potenzreihe für sin(t) in den grenzen von 2 bis x.

Dann wieder ableiten ...> Potenzreihe SInus/(-1)= -Potenzrreihe sinus .

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Quatsch. Sag mal, hast Du schon mal was vom Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gehoert??

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Nein leider nicht . deswegen weiß ich nicht wie ich das nun ja auflösen kann :)

Answer 3

In der Ueberschrift steht doch schon L'Hospital. Da werden Ableitungen gebraucht. Ueberlege Dir also, was $$\frac{d}{dx}\int_2^x\frac{\sin t}{t}\,dt$$ ist, und zuerst natuerlich, warum man L'Hospital hier ueberhaupt anwenden kann.