Ganzrationale Funktion 3ten Grades aufstellen

Question

ich knöbel seit ein paar Tagen an folgendes Aufgabe rum, vll bin ich auch schon einfach viel zu verwirrt um drauf zu kommen, und zwar:

soll ich eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 mit folgenden Eigenschaften aufstellen:

(i) f(x) -> - unendlich für x-> +unendlich und f(x)-> + unendlich für x->-unendlich

(ii) Der Graph von f schneidet die x-Achse bei x=1

(iii) Der Graph von f berührt die x-Achse bei x=-1

wäre super wenn mir einer auf die Sprünge helfen könnte.


Grüße Nadine

Answer 1

f(x) = a(x - 1)(x + 1)^2

Damit (I) erfüllt ist muss a < 0 sein, also z.b.

f(x) = -(x - 1)(x + 1)^2

Ich skizziere das mal für a im Bereich von -5 bis -1

Answer 2

Hi!

(i) Diese Bedingung legt das Vorzeichen des Leitkoeffizienten fest

(ii) Es liegt eine einfache Nullstelle vor, der entsprechende Linearfaktor kommt in dem faktorisierten Funktionsterm genau einmal vor.

(iii) Es liegt eine doppelte Nullstelle vor, der entsprechende Linearfaktor kommt in dem faktorisierten Funktionsterm genau zweimal vor.

Damit lässt sich die Schar der Funktionen, die die drei Bedingungen erfüllen, unmittelbar in ihrer Produktform aufschreiben. Dazu muss genau nichts gerechnet werden.