Verteilungsdichte fy(x) = k * e^{-λιxι} für λ>0 . Bestimmen Sie die Konstante k

Question

Die Verteilungsdichte einer Laplace verteilten Zufallsvariable X ist

fy(x) = k * e^-λιxι  für λ>0 

a) bestimmen Sie die Konstante k 

b)berechnen Sie Verteilungsfunktion Fx

kann mir bitte jemand ein paar Tipps geben wie ich diese Fragestellung lösen kann ??

lg

Comments

Die Fläche unter der Dichte muss 1 sein.

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danke für deine Antwort..

d.h Integral von f(x) von - unendlich bis + unendlich 1 sein?? 

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Ja.                                          

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wenn ich f(x) integriere dann bekomme ich k/-λ e^{..}... nur das Problem ist e^{-unendlich} = 0 

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oder habe ich einen Denkfehler ??

Answer 1

Hi,
da im Exponent der Dichtefunktion \( |x| \) steht, ist die untere Integrationsgrenze \( 0 \). Du musst als das folgendes berechnen
$$  \int_0^\infty k e^{-\lambda x}\ dx = \frac{k}{\lambda} $$ Dies ist \( 1 \) für \( k = \lambda \)
Die Verteilungsfunktion berechnet sich zu
$$ F(x) = \int_0^x k e^{-\lambda x}\ dx = \frac{k}{\lambda} ( 1- e^{-\lambda x}) $$

Comments

da im Exponent der Dichtefunktion |x| steht, ist die untere Integrationsgrenze 0.

Warum?

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Weil \( |x| \) immer größer odert gleich Null ist.

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Zu lösen ist meiner Meinung nach:
$$ \int_{-\infty}^\infty k\cdot \textrm{e}^{-\lambda\cdot\left|x\right|}\ dx = 1 $$
Das lässt sich vereinfachen zu
$$ 2\cdot\int_0^\infty k\cdot \textrm{e}^{-\lambda\cdot x}\ dx = 1 $$oder habe ich da etwas übersehen?

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Ich habe das als die übliche Exponentialverteilung interpretiert.

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung

Aber möglicherweise stimmt auch Dein Ansatz.

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Die Aufgabe redet aber ausdrücklich von der Laplace-Verteilung:

https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Verteilung

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Na dann wird wohl Dein Ansatz stimmen. Habe ich überlesen.