Antwort mit KI erzeugt
a) ⊙ eine Verknüpfung im Sinne der Definition ist
Um zu zeigen, dass \(⊙\) eine Verknüpfung im Sinne der Definition ist, müssen wir prüfen, ob die Operation \(⊙\) zwei Elementen aus \(Q^*\) stets ein Element aus \(Q^*\) zuordnet.
Elemente aus \(Q^*\) sind Paare von ganzen Zahlen ohne die Null, d.h., wir betrachten Paare \((s, t)\) mit \(s, t \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\).
Betrachten wir jetzt die Operation \(⊙\), definiert durch:
\(
(a, b) ⊙ (c, d) = (ac, bd)
\)
mit \(a, b, c, d \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\).
Da sowohl \(a\) als auch \(c\) von Null verschieden sind, ist ihr Produkt \(ac\) ebenfalls eine von Null verschiedene ganze Zahl. Ebenso ist auch \(bd\), als Produkt zweier von Null verschiedener ganzer Zahlen, wieder eine von Null verschiedene ganze Zahl.
Das bedeutet, dass das Ergebnis der Operation \(⊙\), nämlich das Paar \((ac, bd)\), wieder ein Paar von ganzen Zahlen ohne die Null ist, d.h., \((ac, bd) \in Q^*\).
Daher ist \(⊙\) eine Verknüpfung im Sinne der Definition, da die Operation zwei Elementen aus \(Q^*\) stets ein Element aus \(Q^*\) zuordnet.
b) ⊙ unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist
Um zu zeigen, dass \(⊙\) unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist, müssen wir prüfen, ob das Ergebnis der Operation \(⊙\) dasselbe bleibt, selbst wenn wir unterschiedliche, aber gleichwertige Repräsentanten für die Elemente wählen.
Gleichwertige Repräsentanten würden bedeuten, dass wir andere Paare von ganzen Zahlen ohne die Null wählen, die aber in der gleichen Beziehung zueinander stehen wie die ursprünglichen Paare.
Das Konzept der Repräsentantenwahl ist hier jedoch etwas irreführend, weil jedes Element in \(Q^*\) eindeutig durch seine beiden ganzen Zahlen definiert ist. In dem Kontext, dass \(Q^*\) aus allen Paaren \((s, t)\) mit \(s, t \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) besteht, gibt es keine unterschiedlichen "Repräsentanten" für dieselben Elemente wie in anderen mathematischen Strukturen, z.B. Äquivalenzklassen in Modulo-Rechnungen, da hier die Elemente immer durch ihre exakten Werte definiert sind.
Jedoch kann dieser Teil auch so interpretiert werden, dass überprüft werden soll, ob das Ergebnis der Operation konsistent bleibt, wenn die Operation in unterschiedlichen, aber mathematisch gleichwertigen Weisen durchgeführt wird. Da die Operation \((a, b) ⊙ (c, d) = (ac, bd)\) direkt auf den Zahlen basiert und die Multiplikation in \(\mathbb{Z}\) unabhängig von der Darstellung der Zahlen ist (ob als Produkt, als Teil eines anderen Ausdrucks, oder in unterschiedlicher Anordnung), bleibt das Ergebnis der Operation \(⊙\) unverändert.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass \(⊙\) sowohl eine Verknüpfung im Sinne der Definition darstellt als auch unabhängig von der Wahl der Repräsentanten (in diesem Kontext verstanden als die Anwendung der Operation in konsistenter Weise auf beliebige Elemente aus \(Q^*\)) ist.
