Hallo Sophie,
a)
Wenn du die Punkte ins Koordinatensystem eingetragen hast, findest du Z(4|5) als Schnittpunkt der beiden Geraden BB' und DD'.
b)
Gerade B'B: \(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) + r • \(\overrightarrow{B'B}\) = \( \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) + r • \( \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\)
Gerade D'D: \(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) + s • \(\overrightarrow{D'D}\) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) + s • \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0,5 \end{pmatrix}\)
c)
Gleichsetzen der Geradenterme ergibt für die Koordinaten die Gleichungen
4 = 2 + s und 1+ 2r = 4 + 0,5s
→ s = 2 → 1 + 2r = 4 + 1 → 2r = 4 → r = 2
r in B'B → \(\vec{x_S}\) = \( \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) + 2 • \( \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}\)
Der Schnittpunkt beider Geraden ist also das Streckzentrum Z(4|5)
d)
k = |\(\overrightarrow{ZB'}\)| / |\(\overrightarrow{ZB}\)| = |\( \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}\) - \( \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}\)| / |\( \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) - \( \begin{pmatrix} 4\\ 5 \end{pmatrix}\)| = |\( \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \end{pmatrix}\)| / |\( \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}\)|
= 6/4 = 3/2
(k kann man in diesem Sonderfall einfacher mit den Differenzen der x-Koordinaten ausrechnen)
e) Der Flächeninhalt des Ursprungstrapezes ergibt sich aus
A = 1/2 • (\(\overline{AD}\) +\(\overline{BC}\)) • \(\overline{AB}\). Die Streckenlängen kannst du direkt den Punktkoordinaten entnehmen.
Das Bildtrapez hat den Flächeninhalt A' = k2 • A
Gruß Wolfgang
