Komplexe Lösungen. z nicht reell. Beweisen, dass mit z auch z^{konjugiert} Lösung der Gleichung ist.

Question

Beweise : Wenn z eine komplexe Lösung der Gleichung az³+ bz² + cz +d = 0 mit a, b, c, d ∈ ℝ ist, dann ist auch die konjugiert komplexe Zahl z^* eine Lösung dieser Gleichung.

Comments

Tipp: Für je zwei komplexe Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) gilt \(\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\), sowie \(\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}\).

---

Hey

ich habe ja z=x+yi  und z*=x-yi .

Außerdem gilt:

az³+bz²+cz+d=0=az* ³ + bz* ² +cz*+d

Einsetzen von z und z*

ergibt bei mir nach Umformung und Ausmultiplizieren:

3ax²-ay²+2bx+c =  -3ax²+ay²-2bx-c

Jetzt komme ich aber nicht weiter. Ist mein Ansatz richtig?

Und wie gehe ich jetzt weiter vor um zu beweisen?

---

Es gelte \(az^3+bz^2+cz+d=0\) für eine komplexe Zahl \(z\). Dann gilt
\(0=\overline0=\overline{az^3+bz^2+cz+d}=\overline{az^3}+\overline{bz^2}+\overline{cz}+\overline d=a\overline z^3+b\overline z^2+c\overline z+d\).
Damit ist auch \(\overline z\) eine Nullstelle.

Answer 1

wenn du  den rechten Term der Gleichung für z = x ± iy  einfach ausrechnest, erhältst du jeweils den gleichen Realteil und die Imaginärteile unterscheiden sich nur im Vorzeichen:

a·x³ + b·x² - 3·a·x·y² + c·x - b·y² + d  ±  i · y·(3·a·x² + 2·b·x - a·y² + c)

Wenn z₁ = x + iy eine Lösung ist, müssen Realteil und Imaginärteil in beiden Fällen beide gleich Null sein.

→  z₂ = x - iy ist ebenfalls eine Lösung.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hier noch mal zum Nachvoillziehen ;)

Comments

Angenommen z = a + ib ist eine Lösung dieser Gleichung az^3 + bz^2 + cd +d = 0. Einsetzen von z = a + bi in die Gleichung, Auflösen der Klammern und Ordnen nach Real und Imaginärteil ergibt das, was du auf deinen Zettel geschrieben hast.. Das heißt, dass es ebenfalls auch eine Lösung für die konjugierte komplexe Zahl gibt.