Beweis einer Maximalstelle

Question

 f(x) ist eine differenzierbare Funktion mit x Element aller reellen Zahlen und f(x) größer 0.

Wie kann man beweisen, dass eine Stelle x0 (Element aller reellen Zahlen) genau dann Maximalstelle von f ist, wenn sie eine Maximalstelle von g ist mit g(x)= Wurzel von f(x)

Answer 1

Argument 1:            Die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend.

Argument 2:  ( mit Ableitung)

g ' (x) =   1 / ( 2* g(x) )   *   f ' (x)   

Also hat g ' (x) die gleichen Nullstellen wie f ' (x)

und  weil     1 / ( 2* g(x) )  > 0  ist bei einem

Vorzeichenwechsel  von + nach -  von g ' an der Stelle xo

 auch ein Vorzeichenwechsel  von + nach -  von f ' an der Stelle xo
und umgekehrt.

Answer 2

√f(x)  ist um so größer, je größer f(x) ist  (die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend)

→  √f(x) ist genau für den x-Wert x₀ am größten (maximal), für den  f(x₀) maximal ist.

Gruß Wolfgang

Answer 3

x₀ Maximalstelle von f(x) -->x₀ Maximalstelle von g(x)=√f(x) :

f´(x₀)=0  --> g´(x₀)=f´(x₀)/(2*√f(x₀))=0

f´´(x₀)<0 -->

g´´(x₀)=f´´(x₀)/(2*√f(x₀))-f´(x₀)^2/(4*f(x₀)^{3/2})

Der linke Summand ist kleiner 0, weil f´´(x₀)<0 und 2*√f(x₀)>0, der rechte Summand ist 0, weil f´(x₀)=0

Somit g´´(x₀)<0 und x₀ Maximalstelle von g(x)=√f(x)

Die Implikation nach links funktioniert analog mit den selben Gleichungen. Damit wäre die Äquivalenz gezeigt.