fehlende eckpunkte der koordinaten berechnen vektoren.

Question

Für jedes beliebige Viereck im Raum gilt : Die Mittelpunkte der Seiten sind die Eckpunkte eines Parallelogramms.

1) Prüfe anhand des Vierecks ABCD nach.

2) Ändere eine (oder mehrere) beliebige Koordinate(n) und prüfe erneut nach.

a) A(1/3/-1), B(0/5/-4) , C(-1/4/5) , D(1/-1/3)

b) A(2/-7/1) , B(2/-5/3) , C(4/-6/0) , D(7/-1/-3)

Danke für eure Antwort

Answer 1

Hallo

warum nicht die Mittelpunkte ausrechnen und dann 2 entsprechende Vektoren als parallel  und gleich lang zeigen?

Gruß von mir

Comments

in der frage steht das so und ich weiß nicht wie man das macht. können sie mir die einzelnen rechenschritte zeigen.

danke im voraus

Answer 2

den Mittelpunkt einer Strecke erhältst du, indem du jeweils für jede Koordinate den Mittelwert der entsprechenden Koordinaten der beiden Endpunkte berechnest.

2 Paare der  Verbindungsvektoren  je zweier Mittelpunkte müssen dann parallel sein.

Gruß Wolfgang

Answer 3

Für jedes beliebige Viereck im Raum gilt : Die Mittelpunkte der Seiten sind die Eckpunkte eines Parallelogramms.

Ich rechne dir das mal für a) nach. 

a) A(1/3/-1), B(0/5/-4) , C(-1/4/5) , D(1/-1/3)

Mittelpunkte berechnen: Bei jeder Koordinate den Mittelwert nehmen.

M_(AB) ( 0.5 | 4 | -2.5), M_(BC) ( -0.5 | 4.5 | 0.5) , M_(CD)( 0 | 1.5 | 4), M_(DA) ( 1 | 1 | 1)

Vektoren ausrechnen: Ortsvektor von Endpunkt - Ortsvektor von Anfangspunkt rechnen. 

vektor M_(AB)M_(BC) = (-0.5 - 0.5 | 4.5-4| 0.5 - (-2.5)) = ( -1 | 0.5 | 3)

vektor M_(DA)M_(CD) =( 0-1| 1.5 -1 | 4-1) =  ( -1 | 0.5 | 3)

Stimmt. Gleiche gegenüberliegende Vektoren in einem Viereck zeigen dir, dass es sich um ein Parallelogramm handelt. 

b) A(2/-7/1) , B(2/-5/3) , C(4/-6/0) , D(7/-1/-3)

Nun kannst du b) selber rechnen und dann eine Verallgemeinerung formulieren.