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ich benötige eure Hilfe.

Ich weiß nicht wie man die folgende Funktion


$$ { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } } $$


ableitet. Ich benötige die erste und zweite Ableitung. Kann mir einer von euch weiter helfen? Der mir die einzelnen Schritte erklärt?



Gruß

Marco

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Gehört zu den grundlegenden Ableitungen : merken
[ e^term ] ´ = e^term + ( term ´ )

e^{-0.5* (x-1)hoch2}
term = -0.5 * (x-1)^2
term ´ = -0.5 * 2 * ( x -1 ) * 1
term ´= -1 * ( x - 1 )
term ´ = 1 - x

[ e^term ] ´ = e^term + ( 1 - x )

---------------------------------------
2. Ableitung : zusätzlich die Produktregel

( u * v ) ´ = u ´ * v + u * v ´

[ e^term + ( 1 - x ) ] ´
u = e^term
u ´ =  e^term + ( 1 - x )
v = ( 1 - x )
v ´= -1

( u * v ) ´ = u ´ * v + u * v ´
[ e^term + ( 1 - x ) ] ´  = e^term ´ * ( 1 - x )  +  e^term * ( -1 )
[ e^term + ( 1 - x ) ] ´  = ( e^term + ( 1 - x ) * ( 1 - x )  +  e^term * ( -1 )
[ e^term + ( 1 - x ) ] ´  = e^term * ( 1 -2* x + x^2   +  ( -1 )  )
[ e^term + ( 1 - x ) ] ´  = e^term * ( -2* x + x^2   )
[ e^term + ( 1 - x ) ] ´  = x * e^term * ( -2  + x   )

Georg in der letzten Zeile stimmt glaube ich was nicht.

Hallo kofi,

zwischen der vorletzten und der letzten Zeile wurde x ausgeklammert.
Bitte angeben wo du einen Fehler siehst.

mfg Georg

Da ist ein Plus, wo ein Mal hingehört - in den letzten Zeilen.

Ich hab´s oben korrigiert.
Danke für den Hinweis.

1 Antwort

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Setze den Exponenten von e, nämlich -1/2(x-1)2 = z. Bilde z'. Die Ableitung ist dann ez·z'
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Danke für deine Hilfe.

Also ist die erste Ableitung



 $$ { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } }*{ e }^{ -(x-1) } $$

???

Nein irgendwie nicht. Was ist die Ableitung vom Exponenten? Da kann nicht nochmal ein e vorkommen.

Die Ableitung vom Exponenten ist -(x-1)

Ganz genau. Warum steht dann bei dir in deiner Ableitung an zweiter Stelle des Produktes nochmal die e Funktion anstatt dieses Terms?

Oh, verdammt!

Also ist die erste Ableitung


$$ { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } }*\quad (-(x-1)) $$

Richtig?

Yes........!

Okay...

Und um jetzt noch die zweite Ableitung zu bilden muss die Produktregel anwenden, oder?

Ja genau, das stimmt.

Ich komme nicht drauf, was ich jetzt zu erst machen muss. Kannst du mir helfen?

Ist die zweite Ableitung:


$$ { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } }*\quad { (x-1) }^{ 2 }\quad -{ e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } { (x-1) }^{ 2 } } $$


???

Also die Produktregel geht

u'*v + u*v'

e^[-0,5*(x-1)^2] * (1-x) * (1-x) + e^[-0,5*(x-1)^2]*(-1)

e^[-0,5*(x-1)^2] * [(1-x)^2-1]

e^[-0,5*(x-1)^2] * (x^2-2x)

Die zweite Ableitung ist richtig. Ich habe so abgeleitet:

$$ y = { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } } \\y' = -\left(x-1\right)\cdot { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } } \\y'' = \left(-1 + \left(x-1\right)^2\right)\cdot { e }^{ { -\frac { 1 }{ 2 } (x-1) }^{ 2 } }$$Mit etwas Übung geht das ohne irgendwelche Zwischenschritte und ohne Veheddern in Ableitungsregeln.

Okay!


!!!

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