Stetigkeit einer abschnittsweise definierten Funktion

Question

Es seien a, b ∈ R. Die Funktion f : [0, 3] → R sei abschnittsweise definiert durch 

f(x) = 2x+x² für x ∈ [0,1], ax − x³ + x für x ∈ (1,2), (b(x 5−a−x−1))/(x²+1) für x ∈ [2, 3] .

Wie muss jetzt a und b bestimmt werden, damit f(x) stetig ist?

Ich glaube ich habe schon zu lange darüber nachgedacht und stehe gerade auf dem Schlauch. Kann mir jemand weiterhelfen?

Grüße

Comments

Bisher war es bei mir nämlich so, dass man über dem linksseitigen bzw. rechtsseitigen Grenzwert zeigen konnte, ob sie stetig ist. Aber hier gibt es 3 Abschnitte mit bestimmten Intervallen für das x. Irgendwie weiß ich jetzt nicht, wie man das handhaben soll.

---

Bei mir hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Die dritte Teilfunktion müsste (b(x^5−a−x−1))/(x²+1) für x ∈ [2, 3] lauten.

---

@Gast cb7222: Hab ich mir auch gedacht.Bekommt man dann für a = 3 und für b=0 heraus?

---

Meine Rechnung: lim _x->1 2x+x² =3. lim _x->1 ax-x³+x muss folglich auch = 3 sein. Also ist a =3.

lim _x->2 3x-x³+x=0. Folglich muss auch lim _{x->2  (}b(x^5-3-x-1)/(x²+1)) auch =0 sein. Das ist der Fall, wenn b=0.

Answer 1

Du hast zwei Stellen  1 und 2 wo die Intervalle zusammenstoßen.

An beiden machst du den Grenzwert

also für x gegen 1  und für x gegen 2.

Dann hast du zwei Bedingungen und bestimmst damit a und b.

Comments

Achso, also bilde ich zunächst den Limes_x->1 der ersten Funktion und achte darauf, dass  der

 Limes_x-->1 der zweiten Funktion derselbe ist. Dann bilde ich den Limes_x->2 der zweiten Funktion und achte darauf, dass Limes_x->2  der dritten der gleiche ist. Richtig?

---

Ich habe jetzt für a=2 und für b=-0,08 heraus. Ist das richtig?

---

f(x) = 2x+x² für x ∈ [0,1], ax − x³ + x für x ∈ (1,2)

2x+x^2 für x gegen 1 gibt  3

ax - x^3 + x für x gegen 1 gibt a

also a = 3

---

Ja stimmt, den Fehler habe ich schon gefunden. Für b habe ich danach 0 herausbekommen, ist das richtig?

---

Weil Limes _x->2 für 3x-x³+x= 0. Und lim (b(x 5−a−x−1))/(x²+1) kann mit x->2 nur Null werden, wenn b=0.

---

(b(x ^5−a−x−1))/(x²+1) * meine ich natürlich

Answer 2

Mit Grenzwerten musst du hier gar nicht erst ansetzen. Du musst lediglich dafür sorgen, dass die Funktionswerte benachbarter Abschnitte übereinstimmen. Mehr ist nicht zu tun.

Comments

Ich glaub ich hab es irgendwie falsch gemacht. Kannst du mir sagen, wie man das macht?