Matrix unterbestimmt? Bekomme Nullzeile.

Question

Hallo

Wie geht es da jetzt weiter ?

Answer 1

[1, 2, 2, -4, -9]
[-2, -1, 2, 5, 6]
[3, 4, 2, -10, -19]

II + 2*I ; III - 3*I

[1, 2, 2, -4, -9]
[0, 3, 6, -3, -12]
[0, -2, -4, 2, 8]

3*III + 2*II

[1, 2, 2, -4, -9]
[0, 3, 6, -3, -12]
[0, 0, 0, 0, 0]

Damit bist du fertig. Die Matrix hat den Rang 2.

Comments

Danke

ich sollte den lösungsraum angeben. Aber ich weiß nicht wie, weil mit Parameter geht es au h nicht

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Nimm als Lösungsvektor

[a, b, c, d, e]

Du hast 3 Freiheitsgrade daher

b + 2c - d - 4e = 0 --> b = - 2·c + d + 4·e

a + 2(- 2·c + d + 4·e) + 2c - 4d - 9e = 0 --> a = 2·c + 2·d + e

Der Lösungsvektor ist also

[2·c + 2·d + e, - 2·c + d + 4·e, c, d, e]

Du kannst das nun nach Buchstaben in drei Vektoren aufspalten.

c * [2, - 2, 1, 0, 0] + d * [2, 1, 0, 1, 0] + e * [1, 4, 0, 0, 1]

Answer 2

Hallo sophi,

deine Rechnung ist richtig.

Der Rang der Matrix ist die Differenz aus der Zeilenzahl und der Anzahl der Nullzeilen, hier also gleich 2

Da du mit zwei Gleichungen nur 2 der 5 Unbekannten bestimmen kannst, sind die drei anderen beliebig wählbar:  x₃ = a, x₄ = b und x₅ = c.

Diese setzt du in Gleichung 2 ein und berechnest x₂ in Abhängigkeit von a,b,c. Danach setzt du a,b,c und x₂ in Gleichung 1 ein und erhältst x₁ in Abhängigkeit von a,b und c.

Gruß Wolfgang

Answer 3

du hast ja praktisch nur zwei Gleichungen für die 5 Variablen., also wählst du

x5= r  und  x4=s und x3=t beliebig. Dann ist

3x2 =  -6t +3s  + 12 r 

x2 =  -2t +s  + 4 r   und

x1 = -2(  -2t +s  + 4 r   )  -2t    +4s   +9r = 2t  + 2s  + r

also sind die Lösungen

( 2t  + 2s  + r ; -2t +s  + 4 r  ; t  ;   s  ;   r )

 = t*( 2 ; -2 ; 1 ; 0 ; 0 ) + s *( 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ) + r * ( 1 ;  4  ; 0 ; 0 ; 1 )

und diese drei Vektoren bilden eine Basis des Lösungsraumes.