Geometrische Deutung des Vektorproduktes

Question

ich brauche mal wieder eure Hilfe. Momentan bin ich dabei, mich in die Vektorrechnung mit Hilfe des Lehrbuchs "Mathematik für Ingenieure & Naturwissenschaftler Band 1" von Lothar Papula einzuarbeiten. 

Auf der Seite 91 geht der Autor auf die geometrische Deutung des Vektorproduktes ein, was für mich auch gut verständlich ist. 

A=∣a→∣⋅∣b→∣⋅sin(φ)

Bis hier hin alles gut nachvollziehbar

Er schreibt aber am Ende einfach, dass dies dem Betrag des Vektorproduktes a→⋆b→ entspricht, ohne diesen Zusammenhang zu beweisen. (Soll jetzt kein Vorwurf sein :-P))

Allerdings interessiere ich mich gerade für die Zusammenhänge und hätte gerne einen Beweis, weshalb

∣a→∣⋅∣b→∣⋅sin(φ)=∣a→⋆b→∣

entspricht.

Kann man sowas z.B. mit einer vollständigen Induktion beweisen? Welche anderen Möglichkeiten gibt es noch? Bin mal auf eure Antworten gespannt :-)



Cheers!

Comments

1. EDIT:  Das Vektorprodukt solltest du mit "Kreuz" nicht "Punkt" schreiben. ("Punkt" ist für das Skalarprodukt reserviert).

2.

" Er schreibt aber am Ende einfach, dass dies dem Betrag des Vektorproduktes a→⋆b→ entspricht, ohne diesen Zusammenhang zu beweisen."

Das braucht er in einer Definition auch nicht zu beweisen. Später sollte er dann beweisen, dass die (vermutlich) bekannten Regeln, wie man das Kreuzprodukt von Vektoren des R^3 in Komponentendarstellung berechnet gerade zu dieser Definition passen. D.h. die Rechenregeln sollten weiter hinten noch bewiesen werden. 

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Wird im weiteren Verlauf auch nicht bewiesen, deshalb auch meine Frage :)

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Kommst du durch mit der Begründung hier: http://www.mathematik.hu-berlin.de/~harnisch/lehre/krzprod.pdf

(s. 18) ?

Ich habe jetzt nicht alles bis s. 18 gelesen.

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Hey Lu,

leider kann ich mit der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung nichts anfangen.

Aber trotzdem vielen Dank für den Link. Muss mich da mal einlesen, oder kann man das auch mit "Abi-Mathewissen" beweisen? :P

Answer 1

Es gibt zwei Möglichkeiten. Das wird einfach so definiert

( so wird es z.B. bei Wikipedia gemacht )  https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Geometrische_Definition

Dann ist natürlich die Frage: wie berecnnet man es.

oder es wird für Spaltenvektoren definiert, dann kann man die

Eigenschaft aus der def. beweisen.