2 Strecken sollen ohne Knicke miteinander verbunden werden

Question

Man hat 2 Strecken auf einem Koordinatensystem vorgegeben. Die erste hat eine Steigung von 1 und hört an dem Punkt P(0/0) auf; die zweite Strecke fängt bei dem Punkt P(200/200) an.

Nun soll eine Funktion gesucht werden, die beide Strecken möglichst einfach miteinander verbindet, aber es darf KEIN Knick entstehen.

Hab mal eine kleine Zeichnung angefertigt, die das zeigt:

Answer 1

f(0) = 0

f'(0) = 1

f(200) = 200

f'(200) = 0

Benutze zum Überprüfen

f(x) = -1/40000·x^3 + 0,005·x^2 + x

Comments

Ich versuch gerade die Lösung zu verstehen: Also an der Stelle 200 muss die Steigung des gesuchten Graphens 0 sein.

Ich versteh glaube ich auch, wie man auf das Ergebnis kommt: - 1/(200)²*x³ + 1/200 * x² + x

Aber ich verstehe nicht wieso man das so rechnet, also welche rechenwege etc.

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Zuerst stellst du die Bedingungen auf. Die habe ich oben aufgelistet.

Daraus entwickelst du die Gleichungen. Die Gleichungen kannst du dir mit

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Aus den Bedingungen entwickeln lassen.

Dann solltest du das Gleichungssystem versuchen Zu lösen. Am Ende vergleichst du deine Lösung mit meiner und meldest dich bei Abweichungen.

Answer 2

Gesucht ist eine Funktion dritten Grades.

Wir haben die Bedingungen:

f(0)=0

f '(0)=1

f(200)=200

f '(200)=0

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f '(x)=3ax²+2bx+c

Einsetzen:

d=0

c=1

8000000a+40000b+200=200

120000a+400b+1=0

LGS lösen bringt:

a= -1/40000

b=1/200

f(x)= -1/40000*x³+1/200*x²+x

Die STraße wird ohne Knicke verbunden

~plot~-1/40000*x^3+1/200*x^2+x;[[ 0 | 200 | 0 | 200 ]]~plot~

Comments

Warum ist d=0 und c=1?

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f(0)=a*0+b*0+c*0+d =0

f '(0)=a*0+b*0+c=1

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Wieso muss es eigentlich eine Funktion 3. Grades sein und nicht eine Funktion 2. grades?

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Eine Funktion zweiten Grades wäre eine Parabel. Diese könnte zwar ggf. die beiden Stücke verbinden, aber nicht knicklos. Außerdem haben wir zu viele Bedingungen:

Bei einer Parabel:
f(x)=ax²+bx+c

f'(x)=2ax+b

Wir haben die Bedingungen:

f '(0)=1

, f(0)=0

und f'(200)=0

Einsetzen:

a*0+b*0+c=0

a*0+b=1

400a+1=0

LGS lösen:

a= -0,0025

b=1

Das ERgebnis:

 ~plot~-0,0025x^2+1~plot~

Die Parabel verbindet die Straße nicht, da noch einige Bedingungen fehlen.

Den benötigten Grad der Funktion erkennst du also an der Zahl der Bedingungen!