Satz von Rolle verwenden, für einen Beweis

Question

Beweisen sie mithilfe des Satzes von Rolle(wurde schon bewiesen), dass zwischen zwei Nullstellen von x^n+a_n-1+...+a₁x+a₀ eine Nullstelle von nx^^n-1+(n-1)a_n-1x^n-2+...+a₁ .

Also f(x)= x^n+a_n-1+...+a₁x+a₀ und f'(x)=nx^^n-1+(n-1)a_n-1x^n-2+...+a₁ . Es existieren also Werte a,b ∈ D_f, für die gilt f(a)=f(b)=0 und nach dem Satz von Rolle gibt es nun einen Wert c∈D_f für den f'(c) = 0 gilt.  Q.E.D.

Ist das bereits richtig? Wie würdet ihr den Beweis führen? Habe ich etwas vergessen?

Answer 1

Hi,
im Prinzip ja. Hier noch ein paar Kleinigkeiten die meiner Meinung nach fehlen. Der Wert \( c \in D_f \) liegt nicht irgendwo in \( D_f \) sondern es gilt \( c \in (a,b) \), was ja auch zu beweisen war.
Dann sollte man noch hinzufügen das die Polynome stetig und differenzierbar sind, sonst gilt der Satz von Rolle nämlich nicht und o.B.d.A \( a < b \) angenommen werden kann, sonst macht das Intervall \( (a,b) \) ja keinen Sinn.