Schnittgerade von zwei Ebenen bestimmen

Question

E₁: -2x₂+x₃=-1

E₂: 4x₂+x₃=11

Wir müssen dies über den Gauß-Algorithmus lösen.

Die  führt ja zu folgendem Ansatz.

0     -2     1     -1

0      4      1      11

x₃=y

4x₂+y=11

x₂=11/4 -1/4 y

Wie bestimmte ich jetzt x1, weil man ja oben lins gleich die 0 hat?

Answer 1

wenn du das Gleichungssystem

-2x₂+x₃=-1

4x₂+x₃=11

löst, erhältst du x₂=2 und x₃=3.

Da x₁ nicht im Gleichungssystem steht, kannst du es beliebig wählen.

x₁ = t ∈ ℝ 

--> Allgemeiner Vektor von der Geraden g: (x₁,x₂,x₃)^{T}=(t,2,3)^{T}=(0,2,3)^{T}+t*(1,0,0)^{T}

Comments

Wie würde es denn bei meinem Verfahren weitergehen. Ich muss es über Gauß machen und dann die Schnittgerade angeben.

Wenn auf der linken Seite zwei Zahlen stehen, fixieren wir eine davon.

Ich fixiere x3=y

Daraus ergibt sich

x2=11/4 - 1/4*y

x1=0+y*t           ?

Also dann

s: x = (0,(11/4),0)+y*(t,(-1/4),1)

Wieso unterscheiden sich unsere Gleichungen?

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x₃ darf nicht als Parameter fixiert werden, da deine beiden Ebenengleichungen Bedingungen an x₃ stellen. Wenn du

x₃=y und

 x₂=11/4 - 1/4*y  wählst, liegen diese Punkte nicht in der Ebene E₁,

da -2*x₂+x₃=-2*(11/4 - 1/4*y )+y=-11/2+3/2*y≠-1 außer für y=3, was ich ja oben berechnet habe.

Demzufolge muss dann auch x₂=2

Das Endergebnis von dir beinhaltet dann ja auch 2 Parameter y und  t, was keine Gerade  darstellt.  

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Deine Vorgehensweise ist schon nachvollziehbar für mich, aber ich muss eben unser Verfahren in der Schule anwenden.

Das heißt die zwei Ebenen hinschreiben mit den Koeffizienten vor x1, x2 und x3 und dann normal die eine 0 links unten erzeugen, was aber bei dieser Aufgabe schon gegeben war.

Dann haben wir immer x2 oder x3 fixiert.

Was darf ich hier fixieren, wenn ich mein obiges Schema über Gauß einhalten muss?

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Was meinst du mit Bedingungen in deinem satz? Was muss denn für x3 gelten bei beiden ebenen?

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Dein Ansatz mit dem Gauß-Algorithmus ist richtig.

0     -2     1     -1

0      4      1      11

Den kannst du allerdings auch sofort vereinfachen, bevor du parametrisierst, weil die komplette linke Spalte Nullen sind.

 0     -6     0     -12

0      4      1      11

0     1     0     2

0      0      1      3

Wir sehen also: x₂ und x₃ sind feste Werte. Was ist mit x₁? Das steht nicht in der Gleichung mit drin. Also ist x₁ der Parameter. Generell kann man sich merken: Steht eine Variable nicht in einem Gleichungssystem mit drin, dann kann man  sie beliebig wählen.

Stünde im Ansatz oben links keine Null, dann könntest du dir aussuchen, ob du x_1,x₂ oder x₃ als Parameter wählst.

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Wie kommst du denn auf 0 -6 0 -12....?

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Gauß-Verfahren, ich habe die zweite Zeile von der ersten Zeile abgezogen.