Erwartungswert von Sin x und cosx im intervall [0,2pi] berechnen

Question

hallo Zusammen,

Sei x stetig gleichverteilt auf [0,2pi].

Ich soll Erwartungswert von X= sin x und  Y= cos x berechnen.

E(X) = integral von(0 bis 2pi) von sinx *f(x) dx

aber was ist hier mein Dichtfunktion f(x) ? kann mir vielleicht  jemand helfen ?

lg

Answer 1

wenn \( x \) gleichverteilt auf \( [0, 2\pi] \) ist, dann ist die Dichtefunktion \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\pi} \text{ für } x \in [0, 2\pi] \\ 0 \text{ sonst} \end{cases} = \frac{1}{2\pi} \mathbf{1}_{[0, 2\pi]}(x) \).

Der Erwartungswert von \( X = \sin(x) \) ist dann

\( \mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[\sin(x)] = \frac{1}{2\pi} \int \sin(x) \mathbf{1}_{[0, 2\pi]}(x) dx = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin(x) dx = 0 \).

Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert#Erwartungswerte_von_Funktionen_von_Zufallsvariablen für diese Rechenregel.

Der Erwartungswert von \( Y = \cos(x) \) ist entsprechend

\( \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[\cos(x)] = \frac{1}{2\pi} \int \cos(x) \mathbf{1}_{[0, 2\pi]}(x) dx = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2 \pi} \cos(x) dx = 0\).

Mister

Comments

vielen danke.... und kann ich Erwartungswert von XY = cos x * sin x = 1/2 sin x genau so rechnen ?

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Bitte. Ich habe meine Antwort zwischenzeitlich noch vereinfacht (editiert).

Ja, sei \( Z = \sin(x) \cos(x) \). Dann ist

\( \mathbb{E}[Z] = \mathbb{E}[\sin(x) \cos(x)] \)

\(= \frac{1}{2 \pi} \int \sin(x) \cos(x) \mathbb{1}_{[0, 2 \pi]} dx = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin(x) \cos(x) dx \)

\(= \frac{1}{2 \pi} [\frac{1}{2} \sin^2(x)]_{0}^{2 \pi} = 0 \).

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ich hab noch eine frage zu unabhängigkeit.

X und Y sind nicht unabhängig da fx,y(x,y) = 1/2pi ≠ fx(x) * fy(y) = 1/4pi^2

kann ich des so beweisen  ?

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Nein. Die Wahrscheinlichkeitsdichten sind doch keine konstanten Funktionen für \( X \) und \( Y \).

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ok wie kann ich sonst zeigen dass die zwei nicht unabhängig sind ?? ich weiß dass die zwei nicht unabhägig sind aber ich weiß leider nicht wie ich zeigen kann.

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In einem anderen Forum (nämlich hier  http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=214521 ) wird ausgenutzt, dass

\( P( X \geq \frac{3}{4}) = P( Y \geq \frac{3}{4}) \neq 0 \)

ist, aber

\( P( X \geq \frac{3}{4} \text{ und } Y \geq \frac{3}{4}) = 0 \)

gilt. Dadurch wird die Gleichung

\( P(A)P(B) = P(A \cap B) \)

nicht erfüllt und die Zufallsvariablen \( X \) und \( Y \) sind nicht unabhängig.

Um diese Argumentation nachvollziehen zu können, hilft es, sich die beiden Funktionen \( \sin(x) \) und \( \cos(x) \) auf dem Intervall \( [0, 2 \pi] \) vorzustellen. Auf diesem Intervall sind die beiden Funktionen nie gleichzeitig größer als \( \frac{3}{4} \).

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Bitte :)