Vollständige Induktion mit Summenformel und "i"

Question

ich komme einfach nicht weiter mit dieser Aufgabe:

Ich habe versucht mit dem Ansatz (n(2n-1)(2n+1))/3 + (2n+1-1)^2 =( (n+1)(2n+1-1)(2n+1+1))/3 zu rechnen, jedoch kam Müll bei raus...

Wie muss beim Induktionsschritt die linken Seite aussehen?

     

Answer 1

Induktionsanfang n = 1

Σ (k = 1 bis 1) (2·k - 1)^2 = 1/3·1·(2·1 - 1)·(2·1 + 1)

(2·1 - 1)^2 = 1/3·1·(1)·(3)

(1)^2 = 1/3·1·(1)·(3)

1 = 1 --> stimmt

Induktionsschritt n --> n + 1

Σ (k = 1 bis n + 1) (2·k - 1)^2 = 1/3·(n + 1)·(2·(n + 1) - 1)·(2·(n + 1) + 1)

Σ (k = 1 bis n) (2·k - 1)^2  + (2·(n + 1) - 1)^2 = 1/3·(n + 1)·(2·(n + 1) - 1)·(2·(n + 1) + 1)

1/3·n·(2·n - 1)·(2·n + 1)  + (2·(n + 1) - 1)^2 = 1/3·(n + 1)·(2·(n + 1) - 1)·(2·(n + 1) + 1)

1/3·n·(4·n^2 - 1)  + (2·n + 1)^2 = 1/3·(n + 1)·(2·n + 1)·(2·n + 3)

4/3·n^3 - 1/3·n  + 4·n^2 + 4·n + 1 = 1/3·(2·n^2 + 3·n + 1)·(2·n + 3)

4/3·n^3 + 4·n^2 + 11/3·n + 1 = 1/3·(4·n^3 + 12·n^2 + 11·n + 3)

4/3·n^3 + 4·n^2 + 11/3·n + 1 = 4/3·n^3 + 4·n^2 + 11/3·n + 1 --> stimmt