1) Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt:
$$ x^p \equiv x \mod (p) \implies x^p - x \equiv 0 \mod (p)$$
Das heißt aber einfach, dass jedes Element von \( \mathbb{F}_p \) eine Nullstelle des Polynoms ist, also gilt
$$ x^p - x = \prod_{a \in \mathbb{F}_p} (X - a) $$
Lineare Polynome sind irreduzible und somit auch prim. Damit ist die Primfaktorzerlegung bestimmt.
2) Der Tipp hilft hier viel weiter, Z[i] ist nämlich ein mit diese Normabbildung ein euklidischer Ring.
a) Es gilt \( x+iy \in \mathbb{Z}[i]^* \iff N(x+iy) = x^2 + y^2 = 1 \)
Dazu muss man sich mal zuerst überlegen, dass die Norm multiplikativ ist dazu rechnet man schlussendlich einfach nur nach, dass \( (ac-bd)^2 + (bc+ad)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2) \)
=> Wenn z eine Einheit ist gibt es ein Inverses z' mit z*z' = 1 also N(z)*N(z') = N(1) = 1, da die Norm ganzzahlig ist gilt also entweder N(z) = 1 oder N(z) = -1, die Norm ist aber positiv also N(z) = 1.
<= Die Elemente mit Norm 1 sind gerade 1,-1,i,-i, aber das sind auch alles Einheiten, 1*1=1, -1*-1=1, i*-i=1. Damit sind alle Einheiten bestimmt.
b) Seien z, z' gaußsche Zahlen mit 1+i = z * z' schreiben, dann gilt
2 = N(z * z') = N(z) * N(z') => (N(z) = 1 und N(z') = 2) oder (N(z) = 2 und N(z') = 1)
(Norm ganzzahlig und nicht-negativ)
Nach a) => z Einheit oder z' Einheit, aber das bedeutet ja, dass 1+i irreduzible ist.
c) Die Norm von 2 ist N(2) = 4 um das jetzt irgendwie in zwei Nichteinheiten zu zerlegen suchen wir zwei Elemente mit Norm 2 die im Produkt 2 ergeben:
1+i ist ein solches Element. Ansatz: (1+i)*(a+bi) = (a-b) + (a+b)*i = 2 + 0i
Liefert das LGS a-b = 2, a+b = 0, Lösung a=1, b=-1
Auch 1-i hat Norm 2 und ist somit irreduzibel. Damit haben wir eine Primfaktorzerlegung gefunden:
2 = (1+i)(1-i)
