Lineare Unabhängigkeit im C-Vektorraum

Question

die Aufgabenstellung lautet:

Man beweise oder widerlege: " Sind in einem C-Vektorraum V die Vektoren v1,v2 und v3 linear unabhängig, so auch die Vektoren:

w1:= v1+iv2+iv3

w2:=iv1-v2+iv3

w3:=iv1-iv2+v3

Wie gehe ich vor?

Comments

Wie gehe ich vor?

Zeige, dass du jeden der gegebenen Vektoren als Linearkombination von w1, w2 und w3 darstellen kannst.

Wenn das gelingt, spannen w1, w2, w3 einen dreidimensionalen Raum auf. Da es sich um nur 3 Vektoren handelt, müssen sie dann linear unabhängig sein.

Die Rechnung bringst du selbst hin (?).

Answer 1

Hallo Mia,

nach Definition der linearen Unabhängigkeit kannst du überprüfen, ob mit a,b,c ∈ ℂ die Gleichung

a • w₁ + b • w₂ + c • w₃ = 0   nur die triviale Lösung a=b=c=0 hat:

a • w₁ + b • w₂ + c • w₃ = 0    Einsetzen der w_i:

⇔ a •  (v₁ + iv₂ + i v₃ ) + b • ( i v₁ - v₂ + i v₃ ) + c • ( i v₁ - i v₂ + v₃ ) = 0

ausmultiplizieren und dann die Vektoren v_i ausklammern:

⇔  (a + bi + ci) • v₁ + (ai - b - ci) • v₂ + (ai + bi + c) • v₃ = 0

wegen der linearen Unabhängigkeit der v_i müssen alle Klammern den Wert 0 haben:

a + bi - ci = 0  und ai - b - ci = 0 und ai + bi + c) = 0

wenn man dieses Gleichungssystem löst, erhält man die einzige Lösung a=b=c=0

{ w₁, w₂, w₃ } ist also linear unabhängig

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank, ich habe es nun verstanden :)

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Wenn ich das LGS löse, darf ich die 3 Gleichungen quadrieren, damit die i's wegfallen? Oder muss ich anders vorgehen?

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Solange du die binomischen Formeln beim quadrieren beachtest darfst du das. Aber wenn du sie beachtest wirst du sehen, das du sehr schnell einen wust von Gleichungen bekommst die unüberschaubar sind.

Was ich sagen will

(a + b + c)^2 IST NICHT a^2 + b^2 + c^2 auch wenn sich die Schüler das immer wünschen !

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Das ist mir auch gerade klar geworden.

Und wenn ich mit i multipliziere?

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Mit i darfst du multiplizieren und solltest du auch wenn du das mit dem Gauss-Verfahren lösen möchtest.

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Erledigt. Darf ich denn folgendermaßen argumentieren:

Wenn ich mit i multipliziere komme ich auf die Gleichungen c = ic und 2abi = 2ab

Darf ich daraus implizieren, dass als einzige Lösung a=b=c= 0 folgt?

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c = i * c

c - i * c = 0

(1 - i) * c = 0

Hier Satz vom Nullprodukt anwenden. Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Daher muss c Null sein. So kannst du argumentieren.

2abi = 2ab

Hier würde es langen wenn a oder b 0 ist. Das kann also noch nicht ganz so stimmen. 

Du solltest am Ende eine Lösung für a, b und c haben. Schreibst du deinen Lösungsansatz zur Lösung des LGS mal hin?

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a+bi+ci=0

ai-b-ci=0

ai+bi+c=0

mit i multipliziert : 

ai-b-c=0

-a-bi+c=0

-a-b+ci=0

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Hm. Du weißt schon was man beim Gauss Verfahren eigentlich auch Zeilen addiert oder Subtrahiert oder?

a + b·i + c·i = 0
a·i - b - c·i = 0
a·i + b·i + c = 0

II - i * I ; III - i * I

c - c·i = 0
b·i + b + 2·c = 0

Nun auflösen

c - c·i = 0 --> c = 0

In die nächste einsetzen

b·i + b + 2·0 = 0 --> b = 0

In die letzte einsetzen

a + 0·i + 0·i = 0 --> a = 0

Fertig. a, b und c mussen 0 sein.

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Mein Fehler lag darin, dass ich alle Zeilen mit i multipliziert habe und dann versucht habe zu vereinfachen.

Danke. Alles sehr verständlich.