Ganzrationale Funktion vierten Grades, mit der man den Verlauf der Umgehungsstraße näherungsweise beschreiben kann

Question

Aufgabe:

Die Stadt Münster plant um den Ort Wolbeck. durch den eine gerade Straße führt, eine Umgehungsstraße zu bauen. Zur Modellierung wurde die Situation so in ein Koordinatensystem übertragen, dass die Umgehungsstraße in den Punkten und A(0|8) und C(8|0) „ohne Knick“ in die alte Straße führt. Weiterhin soll die Umgeungsstraße durch den Punkt B(4|2) verlaufen. Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades, mit der man den Verlauf der Umgehungsstraße näherungsweise beschreiben kann.

Answer 1

Die Bedingungen

f(0) = 8
f'(0) = -1
f(8) = 0
f'(8) = -1
f(4) = 2

Die Gleichungen

e = 8
d = -1
4096a + 512b + 64c + 8d + e = 0
2048a + 192b + 16c + d = -1
256a + 64b + 16c + 4d + e = 2

Die Lösung

f(x) = -1/128·x^4 + 0,125·x^3 - 0,5·x^2 - x + 8

Skizze

~plot~ -1/128*x^4 + 0,125*x^3 - 0,5*x^2 - x + 8;8-x;[[0|12|0|9]] ~plot~

Answer 2

mathematisch

Die bisherige Straße läuft in einem Wunkel von -45 °
Steigung -1

f ( 0 ) = 8
f ´( 0 ) = -1
f ( 8 ) = 0
f ´( 8 ) = -1
f ( 4 ) = 2

f ( x ) = a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e
f ´( x ) = 4 *a*x^3 + 3 * b*x^2 + 2 * c*x + d

5 Aussagen und 5 Unbekannte. Das sollte lösbar sein.

f(x) = -1/128·x^4 + 0,125·x^3 - 0,5·x^2 - x + 8

Answer 3

f(0)=8

f ' (0)=-1   knickfrei !

f(4)=2

f ' (8) = -1   s.o.

f(8) = 0

mit abcde für die Koeffizienten gibt das

e=8

d=0

a*256 + b*64 + c*16 + d*4 + e = 2 also
a*256 + b*64 + c*16 + 8 = 2

4*a*512 + 3*b*64 + 2c + 8 = 2

a*4096 + b*512 + c*64 = 0

Answer 4

Die gerade straße hat ja die Gleichung:

y= -x+8

Da die Umgehungsstraße knickfrei darin Übergehen soll, muss die Umgehungsstraße in den Punkten (8|0) und (0|8)

Die Steigung -1 haben.

Dadurch erhalten wir die Bedingungen:

f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e

f (0)=8

f(8)=0

f '(0)= -1

f '(8)= -1

f(4)=2

Dadurch erhalten wir ein LGS:

e=8

4096a+512b+64c+8d+e=0

d= -1

2048a+192b+16c+d=  -1

256a+64b+16c+4d+e= 2

Das Lgs lösen:

a= -1/128

b= 1/8

c= -1/2

d= -1

e= 8

f(x)= -1/128*x⁴+1/8*x³ -1/2*x² -x+8

~plot~ -1/128*x^4+1/8*x^3 -1/2*x^2 -x+8;8-x;[[0 | 9 | 0 | 8 ]] ~plot~