bei der a) bietet es sich an, den Hinweis zu verwenden und in Polarkoordinaten überzugehen:
x=r*cos(t)
y=r*sin(t) t∈[0,2*π];r∈[0,∞)
--> x^3*y^4/(x^2+y^2)^2=r^7*cos(t)^3*sin(t)^4/r^4=r^3*cos(t)^3*sin(t)^4
da cos(t)^3 und sin(t)^4 beschränkte Faktoren sind, reicht es aus den Grenzwert r-->0 zu betrachten,da das den Sachverhalt entspricht, dass x und y gegen 0 gehen.
-->lim r-->0 r^3*cos(t)^3*sin(t)^4=0
Die Funktion ist somit stetig in (0,0)
b) limes y-->0 e^y=1
Die x-Komponente ist stetig.
Für die y-Komponente gilt: (x^2+y^3)/y=x^2/y+y^2
Für x≠0 gilt:
lim y-->0 (x^2+y^3)/y=lim y-->0 x^2/y+y^2=lim y-->0 x^2/y
Der letzte Grenzwert existiert nicht, da der Term gegen plus oder minus unendlich divergiert.
Somit ist die Funktion im allgemeinen für y=0 unstetig, lediglich in (0,0) ist sie stetig,da
lim y-->0 (0+y^3)/y= lim y-->0 y^2=0
