Legendresche Differentialgleichung/linear unabhängige Lösung finden/d'Alembertsche Reduktionsverfahren

Question

Die Legendresche Differentialgleichung ist $$ y''=\frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } y' -\frac { 2 }{ 1-{ x }^{ 2 } } y \quad für \quad -1 < x <1. $$

1)

Überprufen Sie, dass \( { \phi  }_{ 1 }(x)=x\) eine Lösung ist.

2)

Verwenden Sie das d'Alembertsche Reduktionsverfahren, um auf dem Intervall \( ]0,1[ \) eine zu \( { \phi  }_{ 1 }\) linear unabhängige Lösung \( { \phi  }_{ 2 }\) zu finden.

3)

Zeigen Sie, dass sich \( { \phi  }_{ 2 }\) als Funktion auf \( ]-1,1[ \) auffassen lässt und dort die Legendresche Differentialgleichung löst.

Answer 1

1)

Φ₁(x)=x

Φ₁'(x)=1

Φ₁''(x)=0

Einsetzen in die DGL:

0=2x/(1-x^2)*1-2/(1-x^2)*x stimmt -->  Φ₁(x) erfüllt DGL

2)

Da Φ₁(x) eine Lösung der DGL ist, lautet der Ansatz für eine weitere Lösung Φ₂(x)=c(x)*Φ₁(x)=c(x)*x

Φ₂'(x)=c'(x)*x+c(x)

Φ₂''(x)=c''(x)*x+2*c'(x)

Einsetzen in die DGL:

Φ₂''(x)=c''(x)*x+2*c'(x)=2x/(1-x^2)*[c'(x)*x+c(x)]-2x/(1-x^2)*c(x)

c''(x)*x+2*c'(x)=2x^2/(1-x^2)*c'(x)

c''(x)+2*c'(x)/x=2x/(1-x^2)*c'(x)

c''(x)+c'(x)*[2/x-2x/(1-x^2)]=0

setze c'(x)=v(x)--> c''(x)=v'(x)

man hat nun eine DGL für v(x), welche man mit Trennung der Variablen lösen kann:

v'(x)+v(x)*[2/x-2x/(1-x^2)]=0

v'(x)=-v(x)*[2/x-2x/(1-x^2)]

dv/dx=-v*[2/x-2x/(1-x^2)]

dv/v=-[2/x-2x/(1-x^2)]*dx           ;beide Seiten nun integrieren

ln(v)=-2*ln(x)-ln(1-x^2)+C

v(x)=exp[-2*ln(x)-ln(1-x^2)+C]=e^C*1/(x^2*(1-x^2))=c₁/(x^2*(1-x^2))

c(x)=∫v(x)dx

Partialbruchzerlegung liefert:

c₁/(x^2*(1-x^2))=c₁*(1/x^2+1/2*(1/(x+1)-1/(x-1)))

c(x)=∫v(x)dx=c_1*∫(1/x^2+1/2*(1/(x+1)-1/(x-1)))dx=c_1*∫(1/x^2+1/2*(1/(x+1)+1/(1-x)))dx

      =c₁*[-1/x+1/2*(ln(x+1)+ln(1-x))]

Φ₂(x)=c(x)*x=c₁*(-1+x/2*(ln(x+1)-ln(1-x)))

Aufgabe 3) kannst du ja mal selber versuchen, brauchst die Funktion Φ₂(x) lediglich mit Produktregel ableiten und dann in die DGL einsetzen und schauen, ob auf beiden Seiten dass selbe rauskommt.

Comments

kann es sein dass in der Lösung ein Vorzeichenfehler ist? Bei der Trennung der Variablen bei der Gleichung mit v und v '

dv/dx=-v*[2/x-2x/(1-x²)]

von dv/v=-[2/x-2x/(1-x²)]*dx   ist nicht  ln(v)=-2*ln(x)-ln(1-x²)+C die Stammfunktion, denn -[2/x-2x/(1-x²)] ist doch -2/x+2x/(1-x²), und die Stammfunktion müsste dann doch ln(v)=-2*ln(x)-ln(x² -1)+C sein, oder?

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Ja, die Stammfunktion der rechten Seite lautet

 -2*LN(x)-LN(1-x^2)+C, dass habe ich ja oben genauso berechnet,also kein Vorzeichenfehler

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aber die Stammfunktion von 2x/(1-x²) ist -ln(x² -1), das kommt heraus egal wie ich es berechne, und das ist doch nicht das selbe wie -ln(1 - x²)

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Beide Terme sind Stammfunktionen von 2x/(1-x²) , das kannst du überprüfen in dem du sie beide ableitest:

 d/dx -ln(x² -1)=-2x/(x² -1)=2x/(1-x^2)

d/dx -ln(1 - x²) =2x/(1-x^2) 

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okay danke, damit hat sich meine Frage erledigt!

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noch wer eine Lösung zur c) ?