Berechnung der Gewinnfunktion (Analysis)

Question

Hallo und zwar schreibe ich am Freitag eine Mathe Klausur und mein Lehrer hat mir eine Übungsaufgabe gegeben die ich aber nicht verstehe.

Der Gewinn G (in GE) eines Flüssiggas herstellenden Betriebs ist abhängig von der Produktionsmenge x (in ME) und wird beschrieben durch die Funktion 

G: G(x)=-x^3+12x^2-7,5x-98 ; D (G) =[0;12]

A) die gewinnmaximale Produktionsmenge 

B) die gewinnminimale Produktionsmenge 

C) den maximal Gewinn

D) den minimal Gewinn 

Beste Grüße 

Answer 1

A) un B)

Berechne:


G '(x) =0

Gefundene Stellen x0 mit der 2. Ableitung überprüfen.

G''(x0)>0 --> Minimum
G''(x0)<0 --->Maximum


C) und D)

Gefundene Stellen x0 in G(x) einsetzen.

Answer 2

Hier einmal der Graph der Funktion

G(x)=-x³+12x²-7,5x-98 ; D (G) =[0;12]

~plot~ - x^3 + 12*x^2 - 7.5 * x - 98 ; { 7.674 | 99.2} ; { 12 | -188 } ;[[ 0|12.2|-200|120 ]] ~plot~

Comments

Mathematisch ist nach den Extremwerten min und max gefragt

g ( x ) = - x^3 + 12*x^2 - 7.5 * x - 98
1.Ableitung bilden und zu null setzen
g ´ ( x ) = -3*x^2 + 12 * x - 7.5
-3*x^2 + 12 * x - 7.5 = 0
pq-Formel oder quadratische Ergänzung
x = 7.674
x = 0.326 ( Tiefpunkt unten links )

Dank des Graphen sieht man das die Funktion im Def-Bereich
0 < x < 12 rechts bei x = 12 ein Randminimum hat.

{ 7,674 | 99,2}  Gewinnmaximum

{12|-188} Gewinnminimum

Steht dir kein Plotter zur Verfügung muß die Funktion an den Rändern
des Def-Bereichs rechnerisch überprüft werden
f ( 0 ) =
f ( 12 ) =