Ich habe eine Aufgabe, die lautet wie folgt:
Sei f1 die Abbildung von ℝ nach ℝ, die alle Zahlen auf die 1 abbildet, f2 Abbildung, die die Zahl x auf sich selbst abbildet, und f3 die Abbildung, die die Zahl x auf x2 abbildet. Beweisen Sie, dass die Abbildungen f1, f2 und f3, als Vektoren im Vektorraum von Abbildungen von ℝ nach ℝ betrachtet, linear unabhängig sind.
Das heißt ja ich habe 3 Funktionen:
f1: ℝ →ℝ mit x↦f(x)=1
f2: ℝ →ℝ mit x↦f(x)=x
f3: ℝ →ℝ mit x↦f(x)=x2
Und brauche eine nicht triviale Lösung, sodass:
λ1f1(x)+λ2f2(x)+λ3f3(x)=0 (Nullvektor, wollte der Formeleditor irgendwie nicht)
Soweit ich das richtig verstanden habe, ist eine nicht triviale Lösung ja schon dann möglich, wenn ich eine der Variablen λ1, λ2, λ3 ≠ 0 wählen kann, sodass die Gleichung erfüllt ist, richtig?
In dem Fall könnte ich ja λ1 und λ2 = 0 wählen und die Gleichung wäre für jedes λ3 ≠ 0 erfüllt, solange x≠0 und damit wäre eine lineare Abhängigkeit gegeben (?, oder nicht, weil keine eindeutige Lösung?)
Die Frage ist jetzt: Sind meine Überlegungen bis hierhin richtig?
Unabhängig davon, wie die Antwort auf die letzte Frage lautet: Wie geht man an so eine Aufgabe ran?
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren ist ja erstmal recht einfach und eigentlich denke ich mir, müsste es hier ja genauso gehen, nur egal wie ich versuche daraus ein LGS zu machen, das lösbar ist, es bringt mich nichts weiter...
Bin für jede Hilfe/jeden Lösungsansatz dankbar :)
PS: Sorry, wenn die Erklärung etwas wirr erscheint, ich sitze da jetzt schon einige Zeit dran und komme zu keinem sinnvollen Ergebnis. Ich habe so langsam das Gefühl, dass es irgendwie extrem einfach ist und ich nur zu blöd bin drauf zu kommen...
