Lösungsgesamtheit der Differentialgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators mit periodischer Anregung

Question

Hi, ich brauche Hilfe beim Lösen dieser Aufgabe. für jede Antwort

Answer 1

Lösungsgesamtheit der Differentialgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators mit periodischer Anregung

Comments

die Lösungsstrategie ist richitg gewählt, jedoch habe ich bedänken was die Lösung des homogenen Teils angeht.

Behauptung: y_hom (x) = c₁exp( ω₀ * (sqrt(μ² - ω₀² )  -μ) ) + c₂ exp( ω₀ * (-sqrt(μ² - ω₀² )  -μ) )

Hier sollte jedoch der Definitionsbereich: 0 ≤ μ < ω₀ bedacht werden.

Wähle als Ansatz y = exp(λx), y' = (y)', y" = (y')' (prüfe durch Rechnung)

Setzt man y, y', y" in den Homogenen Teil der DGL, so erkennt man:

exp(λt) * ( λ² + 2μλ +  ω₀² )  = 0  dann wenn  λ² + 2μλ +  ω₀2 = 0 (löse mit PQ-Formel)

λ_1/2 = -μ +- sqrt(μ² -  ω₀² ) | ACHTUNG: μ² -  ω₀² < 0, da 0 ≤ μ < ω₀

Daraus folgt, dass wir uns im ℂ befinden und hier geschickt Lösen müssen um wieder in ℝ zu landen.

Danach sollte der weitere Lösungsweg benutzt werden können.

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Ich verstehe es nicht ganz.

Kann bitte einer von euch mir sagen, was der allererste Ansatz ist ? :)

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Wenn das alles nochmal hergeleitet werden soll, geht es um den Ansatz:

y=e^{λx} . Das muß 2 Mal abgeleitet werden und in die Aufgabe eingesetzt werden .

Ich denke , mit grosser Sicherheit kommt das in jeder Vorlesung.

:-)

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Den Ansatz habe ich nun verwendet. Haben es aber nicht in der Vorlesung gemacht.

Ich bin bei p-q Formel -> nach lamda aufzulösen.

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Ich bin hier : λ_1/2 = -μ +- sqrt(μ² -  ω₀² )

wie löse ich nun weiter ? Brauche nur einen Tipp.

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dafür gibt es sog. Tabellen mit Ansätzen , z. B hier:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

durch " Ablesen " auf Seite 2 kommst du weiter.(die 1. Tabelle)

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gern doch

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Oder guck dir einfach das Beispiel 15.32 aus dem Ana2 Skript vom Prof.Dr.Braun an. Da steht das auch nochmal super erklärt.

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Ich habe beim Koeffizietenvergleich das raus :

-w^2a = -2uwb-w0^2a+1

-w^2b = 2uwa-w0^2b

Ist das soweit richtig ? Hat jemand das selbe raus ?

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Richtig wäre:

I:  -ω²A + 2μωB + ω₀²A = 1  => A( ω₀² - ω²) + 2μωB = 1
II: -ω²B  - 2μωA + ω₀²B = 0  => B( ω₀² - ω²) -  2μωA = 0

Aus II folgt B = ( 2μωA ) / ( ω₀² - ω² ) mit ω ≠ ω₀

Jetzt kannst du B, welches immer noch in Abh. von A ist in die ( I ) einsetzen und erhältst somit einen Term für A.
Diesen kannst du dann wieder in B einsetzen und deine GL ist gelöst.  

Hoffentlich schaffst du das noch bis morgen !

MFG