Ermittlung von Zeiten im Exponenten

Question

Wegen steigender Arbeitslosigkeit beginnen die Leute eine ländliche Gegend zu verlassen.
Nach 2 Jahren leben in dieser Gegend noch 5500 Menschen, nach 5 Jahren nur mehr 4600 Menschen. Wir nehmen exponentielle Bevölkerungsabnahme an.

1) Wie viele Menschen lebten ursprünglich in dieser Gegend?
2) Wie viele Menschen werden voraussichtlich nach 10 Jahren in dieser Gegend leben? Wie groß ist die jährliche prozentuelle Abnahme?
3) Wie viele Menschen werden voraussichtlich nach 10 Jahren in dieser Gegend leben, wenn man lineare Abnahme annimmt? Wie groß ist die jährliche Abnahme?

 Beim Wachstumsgesetz kenne ich mich aus. Bei Beispiele mit dem Abnahmegesetz habe ich Probleme. Ich weiß nicht wie ich die Rechnung angehen soll. 

Answer 1

N(t) =N_o*q^t

N(2)= 5500 =   N_o*q^2      N(5)= 4600= N_o*q^5

4600 / 5500  =   q^5 / q^2 

q^3 = 4600/5500 = 0,8364

q = 0,9422

Also  5500 =   N_o*0,9422 ^2  

           5500/ 0,8877 = No 

          6196  = N_o*

Also  N(t) = 6196 * 0,9422 ^t

1) Wie viele Menschen lebten ursprünglich in dieser Gegend?     6196
2) Wie viele Menschen werden voraussichtlich nach 10 Jahren in dieser Gegend leben? Wie groß ist die jährliche prozentuelle Abnahme?      N(10) = 3415    jährlich 5,8% weniger

3) Wie viele Menschen werden voraussichtlich nach 10 Jahren in dieser Gegend leben, wenn man lineare Abnahme annimmt? Wie groß ist die jährliche Abnahme?

nach 2 Jahren 5500 nach 5 Jahren 4600 also

900 Abnahme in 3 Jahren, also  300 pro Jahr

d.h. dann wären es anfangs

5500 + 600 = 6100 gewesen

und nach 10 Jahren 6100 - 3000 = 3100

Comments

q³ = 4600/5500 = 0,8364 

q = 0,9422

Wie komme ich von 0,8364 auf 0,9422?

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3. Wurzel ziehen.

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Mathef, ich hab mal eine frage.

Würde bei 4600 / 5500 = q² / q⁵ nicht q^-3 rauskommen, oder habe ich da einen Denkfehler? 

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Danke,  hast recht, ich hab mich vertippt, es sollte

4600 / 5500 = q⁵ / q² heißen;  denn 4600 gehört ja zu q^5

und 5500 zu q^2. Ich ändere das.

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Noch eine kleine Frage.

Wie groß ist die jährliche prozentuelle Abnahme?

Bei mir kommt da 4,48 raus.

6195-3415=2780 -> 2780/10=278

(5917/6195)*100=95,5125

100-95,5125=4,48%

Was mach ich falsch?

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6195-3415=2780 -> 2780/10=278

Das ist falsch. Es werden ja nicht in jedem Jahr gleichviele

weniger, das wäre sozusagen die durchschnittliche

prozentuale Abnahme im Laufe von 10 Jahren.

Wegen   N(t) = 6196 * 0,9422 ^t

sind es immer nach einem Jahr nur noch 94,2%, die

noch da sind, also 5,8% sind weg.

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Habs verstanden. Dankeschön.

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wie kommst du auf 3000 also 6100-3000?

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3000 ist die lineare also gleichbleibende Abnahme von 300 pro Jahr über 10 Jahre.

Answer 2

Zu- und Abnahme haben die gleiche Formel  f(t) = N₀e^at mit dem Unterschied, dass bei Abnahme a negativ ist. f(2)= N₀e^2a = 5500; f(5)= N₀e^5a = 4600. Division dieser beiden Gleichungen führt zu e^-3a=55/46 und nach Logarithmieren auf beiden Seiten -3a=ln(55/46). Dann ist a≈ - 0,06. Dann heißt die Formel für die Abnahme  f(t) = N₀e^-0.06t . Jetzt kann man N₀ aus der Gleichung N₀e^-0,12 = 5500 bestimmen. Dann werden auch die Aufgaben 2. und 3. zu lösen sein.