Anteilveränderung Statistik

Question

In einem Land soll der Anteil der männlichen Embryos erhöht werden. Wenn ein männliches Baby erfolgte, dann darf man weitere Kinder bekommen. Wenn man aber ein Mädchen gebärt, dann darf man keine mehr bekommen. Wie wird sich nun der Anteil der Jungen verändern? (J & M sollen mit der selben Wahrsch. geboren werden.)

Answer 1

Angenommen eine Familie hat höchstens zwei Kinder.

• Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 hat sie genau ein Mädchen.
• Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 hat sie einen Jungen und ein Mädchen.
• Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 hat sie zwei Jungen.

Der Erwartungswert für die Anzahl der Jungen ist 1/4·1 + 1/4·2 = 3/4, der für die Anzahl der Mädchen ist 1/2·1 + 1/4·1 = 3/4.

Erweitere das auf Familien mit höchstens drei Kindern. Zeichne dazu ein Baumdiagram aus drei Ebenen, in dem die Pfade bei dem ersten Mädchen aufhören. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für jeden Pfad.

Multipliziere jede Wahrscheinlichkeit mit der Anzahl der Jungen auf diesem Pfad. Addiere um den Erwartungswert für die Anzahl der Jungen zu berechnen.

Multipliziere jede Wahrscheinlichkeit mit der Anzahl der Mädchenn auf diesem Pfad. Addiere um den Erwartungswert für die Anzahl der Mädchen zu berechnen.

Verallgemeinere das auf Familien mit höchstens n Kindern.

Ich vermute da hat sich mal wieder irgend ein schlauer Politiker etwas ausgedacht, ohne es anhand der Realität zu überprüfen.

Comments

Hey oswald, vielen Dank schon mal für deine Antwort!

Ich habe für beide Erwartungswerte 7/8 raus, heißt das, dass auf Dauer die Zahl der Jungen sich gar nicht erhöhen wird, sondern, dass die Verteilung einfach gleichwahrsch. bleibt & die Idee nicht passend ist?

Wie schreibe ich das allg. mathematisch auf?

:)

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> ... heißt das, dass auf Dauer die Zahl der Jungen sich gar nicht erhöhen wird, ...

Ja, ganz genau das heißt es.

> Wie schreibe ich das allg. mathematisch auf?

Die 7/8 hast du richtig berechnet. Schreibe den kompletten Term auf, der zu den 7/8 führt. Vergleiche das mit dem Term für den Fall "höchstens zwei Kinder". Wie hat sich der Term verändert?

Mache das gleiche für den Fall "höchstens vier Kinder" und eventuell auch für den Fall "höchstens fünf Kinder". Dabei geht es nicht um den Erwartungswert selbst, sonderen darum, dass die Erwartungswerte für Jungen und Mädchen immer noch gleich sind. Versuche eine Regel zu finden, was sich vom Übergang von einer zur nächsten Stufe ändert.

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Bei den M verdoppelt sich der Nenner, bzw. die Wahrsch. halbieren sich. Die Anzahl der M bleibt immer dieselbe, da man nur 1 M haben darf.

Bei den J erhöht sich die Anzahl immer +1. Bei den Wahrsch. erkenne ich etwas ein Muster aber bin mir nicht ganz sicher.

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Könnte man es bei den M so ausdrücken:

E(X)= n+n/2+n/2^2+n/2^3+n/2^4+...

wobei n=1/2 ist?

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Dein E(X) ist richtig. Allerdings würde ich mit n die Anzahl der Kinder bezeichnen. Außerdem solltest du nicht einfach X als Zufallsvariable nehmen ohne zu erklären, was X repräsentiert. Ich verwende mal die zwei Zufallsvariablen M für die Anzahl der Mädchen und J für die Anzahl der Jungen. Dann ist laut deiner Aussage

        E(M) = ∑_i=1..n 1/2ⁱ.

Bei den Jungen hat der Pfad aus 1 Jungen und einem Mädchen die Wahrscheinlichkeit 1/2² und fließt mit 1·1/2² in den Erwartungswert ein.

Der Pfad aus 2 Jungen und einem Mädchen hat die Wahrscheinlichkeit 1/2³ und fließt mit 2·1/2³ in den Erwartungswert ein.

Der Pfad aus 3 Jungen und einem Mädchen hat die Wahrscheinlichkeit 1/2⁴ und fließt mit 3·1/2⁴ in den Erwartungswert ein. 

Setzt man das weiter fort und summiert, dann kommt man auf ∑_i=1..n (i-1)·1/2ⁱ.

Für E(J) fehlt dann noch der Pfad, der nur aus Jungen besteht. Der hat bei n Kindern die Wahrscheinlichkeit 1/2ⁿ, fließt also mit n·1/2ⁿ in den Erwartungswert ein.

Demanch ist

        E(J) = n·1/2ⁿ + ∑_i=1..n (i-1)·1/2ⁱ.

Beweise, dass ∑_i=1..n 1/2ⁱ = n·1/2ⁿ + ∑_i=1..n (i-1)·1/2ⁱ für jede natürliche Zahl n ist.

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 ∑_i=1..n 1/2ⁱ = n·1/2ⁿ + ∑_i=1..n (i-1)·1/2ⁱ 

du meinst hier wohl:

 ∑_i=1..n 1/2ⁱ = n·1/2ⁿ + ∑_i=1..n (n-1)·1/2ⁱ 

da würde ja dann im Prinzip stehen:

(1/2^i)/n = n/2^n + ((n-1)/2^i)/n

ich habe da als Bsp. für n=2 eingesetzt, aber es kommt vor und nach dem Gleichheitszeichen nicht dasselbe raus... 1/4 ≠ 3/4

bin jetzt etwas verwirrt.

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Nein, da gehört tatsächlich ein i hin, kein n. Ich habe da irrtümlich ein n hingetan, und dann nur unkonsequent korrigiert. i ist die Länge des Pfades bis zum Mädchen. Auf diesem Pfad liegen (i-1) Jungen und es wird über alle möglichen Pfade summiert.

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was bedeutet dann i=1 unter dem Summenzeichen?
Also gilt dieses i=1 nicht für ∑_i=1..n (i-1)·1/2ⁱ

ich bin immer noch verwirrt...

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Unter dem Summenzeichen ist das i die Laufvariable.

Beispiel. ∑_i=5..9 i² ist eine Abkürzung für 5² + 6² + 7² + 8² + 9².

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Für jedes Neugeborene ist die Wahrscheinlichkeit, ein Junge zu sein, genau \( 50\ \% \), unabhängig von der Geschlechterverteilung der Neugeborenen aus der Vergangenheit.

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Achso okay, danke.

(1/2ⁱ)/n = n/2ⁿ + ((i-1)/2ⁱ)/n 

ist das hier dann meine Gleichung, die ich beweisen muss?

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Was ich damit sagen wollte, es macht keinen Unterschied, welche Familie das nächste Neugeborene bekommt. Die Wahrscheinlichkeit für das spezifische Geschlecht für ein jedes Neugeborenes ist unabhängig von der Familie.

Wenn eine bestimmte Familie keine weiteren Kinder mehr bekommen darf, ändert dies nichts an der Verteilung der Geschlechter, die im Übrigen eine Binomialverteilung mit \( p = 0.5 \) ist.

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Meine Frage war an oswald gerichtet, tut mir Leid.

Mister, wie kommst du denn auf p=0,5?

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@Mister

Achso okay, hat sich erledigt :)

Answer 2

der Anteil der Jungen unter den Embryos wird sich durch diese Regelung gar nicht verändern, wenn man nicht annimmt, dass es bezüglich des Geschlechts der Geschwister einer Familie eine zusätzliche Abhängigkeit gibt.

Mister

Answer 3

Hier mal eine Überlegung zur Diskussion:

Ich betrachte den Anteil der Mädchen (M) bei größer werdender Kinderzahl unter den vorgegebenen Bedingungen anhand der ersten beiden Geburtensequenzen und gewichte diesen mit der Wahrscheinlichkeit dieser Sequenz.

M mit 1/1 * 1/2 = 1/2 und
JM mit 1/2 * 1/4 = 1/8

Ok, das lässt sich so weiterführen, aber der Mädchenanteil beträgt jetzt schon 1/2 + 1/8 = 5/8 und wird bei Hinzunahme weiterer Sequenzen noch wachsen. Sieht also nach sinkendem Jungenateil aus.

So, das eine Überlegungen anhand einiger schneller Notizen, ich kann also auch völlig falsch liegen.