Zeigen Sie diese Aussagen (cos,sin,..)? (a) 2 − 2cos(x) = 4sin^2 ( x/2 ).

Question

Sei x ∈ ℝ beliebig und n ∈ℕ_≥1.

Wir definieren A ⁽ⁿ⁾ _k := e ^i(k/n)x ,    k = 0, . . . , n,

 und

 L_n :=∑ ⁿ _k=1 |A ⁽ⁿ⁾k  − A ⁽ⁿ⁾ _k−1 |.

Anschaulich ist L_n die Länge des Polygonzuges der Punkte A ⁽ⁿ⁾ _k 

 Zeigen Sie, dass für alle x ∈ R folgendes gilt:

(a) 2 − 2cos(x) = 4sin² ( x/2 ).

(b) L_n = 2n|sin( x/2n )|.

(c) lim_n→∞ L_n = |x|. 

Hinweis zu (c): Verwenden Sie lim_x→0 sin(x)/x = 1.

Answer 1

(a) 2 − 2cos(x) = 4sin² ( x/2 ).

Versuche es mal mit der Doppelwinkelformel

cos(2t) = cos^2(t) - sin^2(t)    | trigonometrischer Pythagoras

cos(2t) = 1 - 2 sin^2 (t)       | nun Substitution x = 2t, d. h. t = x/2

cos(x) = 1 - 2 sin^2(x/2)   | * 2

2 cos(x) = 2 - 4 sin^2(x/2) 

4 sin^2(x/2) = 2 - 2 cos(x) 

Die andern Teilaufgaben überlasse ich mal jemand anderm. 

Comments

Genau die ,die ich mittlerweile hinbekommen haben =D

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Schön. Dann hast du ja etwas gelernt.

Schreib das nächste Mal einen Kommentar, wenn du einen Teil nicht mehr brauchst. Da bleibt mehr Zeit für die Fragen, die dich noch interessieren.

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Gib Bescheid, wie es inzwischen um b) und c) steht.