alg. harmonische Reihe Integralkriterium

Question

Dies ist die angegebene Rechnung im Beispiel:

$$ s_n=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\\=f(1) +f(2) +f(3)+...+f(n)\\< f(1)+\int_{1}^{n}\frac{1}{x^2}\\<1 +\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^2}\\<1+1=2 $$

Wieso wird in der dritten Zeile f(1) dazu addiert?

Warum ist ist der Ausdruck in Zeile 4 größer als in Zeile 3, n kann doch auch unendlich groß sein?

Warum soll der Audruck in Zeile 4 kleiner als in Zeile 5 sein, dass Integral in Zeile 5 ergibt 1 und somit müsste doch gelten:

$$ 1+\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^2}=1+1=2 $$

Hier die Skizze zu dem Beispiel:

Comments

In der 4. Zeile sind bei dir die Grenzen verkehrt. Das sollte weiterhin 1 bis unendlich sein.

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Sry, also eig. sollte es so aussehen: $$ s_n=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\\=f(1) +f(2) +f(3)+...+f(n)\\< f(1)+\int_{1}^{n}\frac{1}{x^2}\\<1 +\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}\\<1+1=2 $$


Und
Warum soll der Audruck in Zeile 4 kleiner als in Zeile 5 sein, dass Integral in Zeile 5 ergibt 1 und somit müsste doch gelten:
1+\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}=1+1=2

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Es geht doch eigentlich um die Reihe

Σ (x = 1 bis ∞) 1/x^2

Hier habe ich wenn die obere Grenze 1 ist genau den Wert 1. Das ist bei uns Quasi der Anfangswert 1.

Vergleiche mal

Σ (x = 1 bis n) 1/x^2

mit

1 + ∫ (1 bis n) 1/x dx

In einer Tabelle für n = 1 bis 5 und dann schaust du an was das in der Skizze bedeutet.

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Warum soll der Audruck in Zeile 4 kleiner als in Zeile 5 sein, dass Integral in Zeile 5 ergibt 1 und somit müsste doch gelten: 

Zeile 5 ist der Grenzwert des Integrals. Dabei nähern wir uns dem Grenzwert nur unendlich dicht an, erreichen ihn aber über eine Summe theoretisch nie.

Answer 1

Man möchte ja wissen ob die Harmonische Reihe konvergiert. Also schätze ich die Reihe durch ein darüberliegendes Integral ab.

Das Integral ist eigentlich

∫ (0 bis ∞) 1/x^2 dx 

Hier gibt es allerdings Schwierigkeiten im Bereich von 0 bis 1. Daher nehme ich diesen Bereich raus und weiß ja das der Normal 1 ist.

1 + ∫ (1 bis ∞) 1/x^2 dx 

1 + 1 = 2

In der 4. Zeile sind bei dir die Grenzen verkehrt. Das sollte weiterhin 1 bis unendlich sein.

Comments

Danke, für die Antwort. Ich verstehe aber nicht, welche Schwierigkeiten gemeint sind , klar mann kann die untere Grenze nicht einsetzten, da man nicht durch 0 teilen kann, aber zwischen 0 und 1 liegen doch sehr viele kleine Werte. Falls man z.B. 0,0000001 in die Stammfunktion einsetzen würde, erhält man ein sehr großes Ergebnis.  Ich verstehe nicht, wieso man dann einfach sagen kann, dass der Wert zwischen 0 und 1, gleich f(1) sein soll. Werden die Werte zwischen 0 und 1 gar nicht beachtet? Kannst du mir bitte auch kurz die anderen Fragen beantworten? Es würde mir sehr weiterhelfen :)

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Das Integral in den Grenzen von 0 bis 1 übre 1/x^2 strebt leider gegen unendlich. Das ist zwar größer als unsere Reihe aber eher kontraproduktiv als obere Abschätzung um eine Konvergenz zu zeigen.