Vergleichskriterien für Grenzwerte beweisen um Konv./Div. von Reihen zu bestimmen

Question

Sätze: Es seien a_n>0 und b_n>0 für alle n≥N, N ist eine ganze Zahl

1. Wenn gilt lim_n→∞a_n/b_n=0 und ∑b_n konvergiert, dann konvergiert auch ∑a_n

2. Wenn gilt lim_n→∞a_n/b_n=∞ und ∑b_n divergiert, dann divergiert auch ∑a_n

Bew. 1. : Sei ε>0, dann existiert ein N∈ℕ, sodass für alle n≥N gilt:|a_n/b_n-0|<ε gilt.

|a_n/b_n-0|<ε ↔ -ε<a_n/b_n<ε ↔ -ε*b_n<a_n<ε*b_n

Ich würde jetzt gerne mit dem Majorantenkriterium argumentieren, aber dieses macht nur hierfür Sinn a_n<ε*b_n , in diesem Fall -ε*b_n<a_n kann b_n schließlich konv., aber a_n nicht. Muss ich epsilon noch definieren?

Bew. 2.:  Seien ε>0 und a∈ℝ fest aber beliebig(f.a.b.?), dann existiert ein N∈ℕ, sodass für alle n≥N gilt:|(a_n/b_n) - a|≥ε gilt.

(a-ε)*b_n≥a_n≥(ε+a)*b_n

Hier greift schließlich das Minorantenkrit., aber wie stelle ich das in formal korrekt dar und was passiert mit dem "a"? Muss epsilon def. werden? Ich hoffe, dass meine Beweisidee Sinn ergibt, bin aktuell noch miserabel bei Beweisen :(

Wie würdet ihr die Bew. zusammenfassen? Wäre cool, wenn ihr meine Idee verfeinert, wenn sie irgendetwas Richtiges in sich trägt, auch wenn ihr vermutlich schönere/schnellere Beweise führen könnt. Danke :)

Answer 1

Sei ε>0, dann existiert ein N∈ℕ, sodass für alle n≥N gilt:|a_n/b_n-0|<ε gilt.

|a_n/b_n-0|<ε ↔ -ε<a_n/b_n<ε ↔ -ε*b_n<a_n<ε*b_n

Du hast doch in der Vor. , dass von einem gewissen N an, alle an und bn positiv sind.

Damit ist auch an / bn positiv und dein Argumentationsproblem tritt gar nicht auf !