Warum hat das Gleichungssystem nur eine Lösung. LGS

Question

ich habe eine kleine Frage bezüglich eines Gleichungsystems. Das lautet:

x1-x2+x3=1

-x1+x2+x3=3

x1+x2+x3=1

Die Matrix davon wäre ja:

$$\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) $$

Die Frage ist nun, warum dieses Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt.

Meine Vermutung ist: Weil es hier gar keine unbekannte Variable gibt? Also kein a z. B?

Oder muss ich das ganze mit der Cramersche Regel berechnen? Also det(A₃)/det(A) und das wäre dann:

-4/-8 = 2

Ist das als Begründung ausreichend, dass es nur eine Lösung gibt oder habe ich etwas falsch gemacht?

für eine Antwort!

Answer 1

Bei dem, was du Matrix nennst, fehlt die Spalte (x1, x2, x3) .

Es ist durchaus ein unbekannter Vektor vorhanden.

Und du sollst nun schauen, ob diese Gleichung MatrixA * (x1, x2, x3) = ( 1, 3, 1)

genau eine Lösung hat.

Wenn Det(MatrixA) ≠ 0 rauskommt, bist du mit diesem Beweis fertig. Weitere Determinanten sind unnötig.

Comments

Danke für die Antwort :). Aber ich kann das doch auch einfach mit der Cramersche Regel  beweisen oder nicht? Ich nehme dafür eine die 3. Spalte und ersetze diese mit ( 1, 3, 1) . Danach nur noch det(A₃)/det(A) und fertig? 

Und ich verstehe noch nicht ganz wieso die Spalte x1, x2, x3 fehlt?

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Schaue dir unbedingt die Cramersche Regel nochmals an.

Damit kannst du erst mal die Determinante der Matrix ausrechnen. Und dann bist du schon fertig.

Alternative:

Du löst das Gleichungssystem

x1-x2+x3=1

-x1+x2+x3=3

x1+x2+x3=1

auf, wie ihr das in der Schule gelernt habt. Dann kommst du automatisch auf die richtige Anzahl Lösungen.

Deine Matrixgleichung ist falsch. Eine 3X3 Matrix kann niemals gleich einem Vektor mit 3 Zeilen sein. Lies nochmals meine Antwort.

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Okay, danke, hab es verstanden und weiß auch Sie meinen :). Carmersche Regel ist für mich am einfachsten und schnellsten.

Danke nochmal!

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Bitte. Freut mich, wenn du nun weisst, was du machen musst.