Beweise mit vollständiger Induktion, dass coshn(x) = (ex + (-1)n e-x)/2 = cosh(x) für n gerade...

Question

hallo. Könnt mir jemand helfen? LG Vitalij

Answer 1

Hi,

a)

cosh(x)=1/2*(e^x+e^-x)

cosh'(x)=1/2*(e^x-e^-x)=sinh(x)

b) den Induktionsabfang haben wir in a) schon gemacht

Induktionsschritt: cosh(x)ⁿ⁺¹=

d/dx 1/2*(e^x+(-1)ⁿ*e^-x=1/2*(e^x+(-1)ⁿ⁺¹*e^-x)

passt

Für gerade n entspricht dies genau cosh(x) und für ungerade sinh(x)

c) sinh(0)=0

cosh(0)=1

Alle ungeraden Potenzen der Taylorreihe verschwinden also, weil dort als Vorfaktor sinh(0) drin steht.

--->T(x)=sum k=0 bis ∞ x^2k/(2k)!

oder wenn man nur gerade k zulässt wie in der Aufgabenlösung sum k=0 bis ∞ x^k/k! , k gerade