Hi,
a)
cosh(x)=1/2*(e^x+e^{-x})
cosh'(x)=1/2*(e^x-e^{-x})=sinh(x)
b) den Induktionsabfang haben wir in a) schon gemacht
Induktionsschritt: cosh(x)^{n+1}=
d/dx 1/2*(e^x+(-1)^n*e^{-x}=1/2*(e^x+(-1)^{n+1}*e^{-x})
passt
Für gerade n entspricht dies genau cosh(x) und für ungerade sinh(x)
c) sinh(0)=0
cosh(0)=1
Alle ungeraden Potenzen der Taylorreihe verschwinden also, weil dort als Vorfaktor sinh(0) drin steht.
--->T(x)=sum k=0 bis ∞ x^{2k}/(2k)!
oder wenn man nur gerade k zulässt wie in der Aufgabenlösung sum k=0 bis ∞ x^k/k! , k gerade
