Die Aufgabe ist zwar uralt, aber eine Gelegenheit für ein Desmos-Script ;-)
Ein Polynom mit max. 2'ter Ordnung sieht bekanntermaßen so aus$$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2x^2$$Wenn man sich zunächst auf das Intervall \([0\dots 1]\) beschränkt, soll allgemein gelten$$\int\limits_{0}^{1} f(x)\,\text{d}x = w_0^*f(0) + w_1^*f(z^*) \quad z^* \in[0\dots 1]$$Man betrachte dazu jedes der Basispolynome einzeln:$$\int\limits_{0}^{1} a_0\,\text{d}x = w_0^*a_0 + w_1^*a_0 \implies w_0^* + w_1^* = 1 \\ \int\limits_{0}^{1} a_1x\,\text{d}x = w_0^*a_1\cdot 0 + w_1^*a_1 \cdot z \implies w_1^*z^* = \frac{1}{2} \\ \int\limits_{0}^{1} a_2x^2\,\text{d}x = w_0^*a_2\cdot 0^2 + w_1^*a_2 \cdot {z^*}^2 \implies w_1^*{z^*}^2 = \frac{1}{3}$$Dividiert man die dritte durch die zweite Gleichung so erhält man \(z^*\). Einsetzen in die zweite Gleichung gibt \(w_1^*\) usw.:$$\implies z^* = \frac{2}{3}, \quad w_1^* = \frac{3}{4}, \quad w_0^* = \frac{1}{4}$$Die Rücktransformation auf das Integral \([a\dots b]\) der Stützstelle \(z\) und der Wichte \(w_{0,1}\) geschieht nun durch$$z= a(1-z^*) + bz^*= \frac{1}{3}(a+2b)\\w_0 = w_0^*(b-a) = \frac{1}{4}(b-a) \\ w_1= w_1^*(b-a) = \frac{3}{4}(b-a)$$Und alles zusammen:$$S(f)_{[a,b]} = \frac{b-a}{4} \left(f(a) + 3f\left(\frac{a+2b}{3}\right)\right)$$und das Desmos Script:
Mit den frei verschiebbaren Punkten \(S\) (der Scheitelpunkt) und \(P\) stellt man ein beliebiges Polynom vom Grad 2 ein. Mit den beiden Punkten auf der X-Achse lassen sich die Integralgrenzen einstellen. Das Integral \(\int_a^b\) und die Summe \(S(f)\) aus dem lila markierten Koordinaten wird jeweils getrennt berechnet.
