Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede haben die Funktionen? f(x)= (x+a)^4 -(x+a)^2

Question

 Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede haben die Funktionen der Form  f(x)= (x+a)^4 -(x+a)^2 ?

Comments

Was genau meinst du?

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also ich habe mir überlegt, zb. sie haben 3 Nullstellen, 2Wendestellen als gemeinsamkeit.

aber das ist nicht ausreichend. monotonieverhalten könnte ein unterschied oder eine gemeinsamkeit sein?!

Answer 1

 f(x)= (x+a)⁴ -(x+a)²

        = (x+a)^2 * (( x+a)^2 - 1 )

also haben alle eine doppelte Nullstelle bei x= -a  und noch zwei weitere

bei x=1-a  und bei   x= -1-a .

Außerdem sind alle Graphen symmetrisch zur y- Achse und

für x gegen ±∞ ist jeweils der Grenzwert +∞.

Alle haben bei ( 0 ; a^4 - a^2 ) den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Bei x= -a haben alle einen Hochpunkt, denn

f ' ( -a) = 0 und f ' ' ( -a) = -2 < 0

bei x = -a ± 1 / √6    haben fast alle je einen Wendepunkt , nur für a=±1/√6 .

Für a ≠ ±1/ √2  liegen bei -a ± 1/√2  weitere Extrmepunkte.

Comments

wie kommst du auf diese form?  (x+a)² * (( x+a)² - 1 ) und dann auf die Nullstellen?

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Außerdem sind alle Graphen symmetrisch zur y- Achse und (...)

Na, das ist wohl eher nicht so!

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Oh stimmt, da hab ich nicht richtig hingesehen.

wie kommst du auf diese form?  (x+a)² * (( x+a)² - 1 ) und dann auf die Nullstellen?

(x+a)⁴ -(x+a)² = 0

(x+a)^2 ausklammern gibt

  (x+a)² * (( x+a)² - 1 )= 0

x+a=0  v  (( x+a)² - 1 ) = 0

Answer 2

Hi, die wohl herausragendste gemeinsame Eigenschaft der Funktionen $$ f_a(x)= (x+a)^4 -(x+a)^2 $$besteht wohl darin, dass ihre Graphen jeweils als ein um \((-a)\) Einheiten in x-Richtung verschobener Graph der Funktion$$ f_0(x)= x^4 -x^2 $$aufgefasst werden kann.