Integralrechnung wahre Aussagen.

Question

Das Integrieren ist eine Umkehraufgabe des Differenzierens mit unendlich vielen Lösungen. Wahr oder Falsch.

Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Differenz der Integrale der einzelnen Funktionen. Wahr oder Falsch.

Vielleicht kann mir mal jemand erklären warum die erste Aussage wahr sein soll und die zweite Falsch.

Vielen Dank für die Mühe :)

Answer 1

Zur ersten Aussage: Die Konstante ist ja keine bestimmte.

Zur zweiten Aussage:  Es ist nicht gleich der Differenz, sondern.. ?

Comments

1) Was meinst du mit Konstante ist keine bestimmte.
2) Es gibt eine Regel die genau besagt dass das Integral der Summe von Funktionen, gleich die Differenz(Summe) der Integrale der einzelnen Funktionen ist. Differenz kann hier sowohl minus als auch plus sein. Eigentlich müsste das erste wenn es auf unbestimmte beschränkt wäre wahr sein, da ich hier ja auch wieder eine Funktion bekomme und bei der zweiten müsste es denke ich mal wahr sein

Summenzeichen f(x) + g(x) = Summenzeichen f(x) + Summenzeichen g(x).
Das sagt doch gerade die zweite Aussage aus oder etwa nicht ?

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Ok die erste Aussage habe ich denk ich mal verstanden du meinst die Konstante C, die alles sein kann.

Die zweite Aussage ist mir immer noch unklar. Es ist doch gleich der Differenz der Integrale der einzelnen Funktionen.

Answer 2

> Das Integrieren ist eine Umkehraufgabe des Differenzierens mit unendlich vielen Lösungen.

Der Hauptsatz der Differntial- und Integralrechnung besagt: Wenn F'(x) = f(x) ist, dann ist

        _a∫^b f(x) dx = F(b) - F(a).

Um zu integrieren wird also eine Funktion F(x) gesucht, deren Ableitung f(x) ist. Es ist also eine Umkehraufgabe des Differnezierens. Eine solche Funktion F(x) heißt Stammfuktion von f(x). Es gibt unendlich viele Lösungen, weil es zu jeder integrierbaren Funktion unendlich viele Stammfunktionen gibt. Grund ist, dass konstante Summanden beim Ableiten wegfallen.

Beispiel. Ist F(x) = 1/3 x³ + 5 eine Stammfunktion von f(x), dann muss f(x) = x² sein, weil F'(x) = x² = f(x) ist. Dann ist aber auch G(x) = 1/3 x³ - 12 eine Stammfunktion von f(x), weil G'(x) = f(x) ist.

> Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Differenz der Integrale der einzelnen Funktionen.

Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Integrale der einzelnen Funktionen. und zwar weil die Ableitung einer Summe von Funktionen gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen ist.