Kubische Interpolationspolynome

Question

Ich soll alle kubischen Splinefunktionen auf dem Intervall [-2,2] mit dem Giteer {-2,0,2} und den Bedingungen S(-2)=S(2)=0, S'(-2)=S'(2)=0,S''(-2)=S''(2)=0 finden. Ich habe die verschiedenen Bedingungen, die für Splines gelten müssen getestet und für alle meine a0,a1 b0, b1 etc bekomme ich immer wieder 0 raus, was eigentlich ja nicht richtig sein kann.
kann mir hier jemand helfen?Danke schonmal !:)
Ich soll alle kubischen Splinefunktionen auf dem Intervall [-2,2] mit dem Giteer {-2,0,2} und den Bedingungen S(-2)=S(2)=0, S'(-2)=S'(2)=0,S''(-2)=S''(2)=0 finden.

Comments

Fehlen da nicht noch ein paar Bedingungen für die Stelle x=0?

Setze ggf. S(0)=a und S'(0)=b an.

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Ich brauche doch eigentlich 2 Funktionen, da ich ja auch 2 Intervalle habe, oder? Wie soll das dann aussehen?

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Ja, aber du hast nur sechs Bedingungen, weswegen die Lösung nicht eindeutig ist.

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Ja , das habe ich auch schon verstanden, ich weiß eben nur nicht wie ich vorgehen soll. Ich rechne da jetzt schon llänger rum und komme zu keinem richtigen Ziel.

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Nun, es ist schon eine Weile her, dass ich mich damit beschäftigt habe. Vielleicht solltest noch eure verwendete Notation mitteilen und ein Foto der genauen Aufgabenformulierung einstellen.

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Großartig haben wir dazu nichts notiert, auch haben wir keine solche Aufgabe lösen müssen, sondern es geht hier rein um Klausurvorbereitungen und dass ich mit einem solchen Typ von Aufgaben umgehen können möchte. Dies ist nun die Aufgabe :

Answer 1

Hi,

die Splines sehen ja so aus

$$ s_j(x) = a_j + b_j (x-x_j) + c_j (x-x_j)^2 +d_j (x-x_j)^3 $$ für \( j = 1,2 \) und \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 2 \) daraus folgt
$$ s_j'(x) = b_j + 2 c_j (x-x_j) + 3 d_j(x-x_j)^2  $$ und
$$ s_j''(x) = 2 c_j + 6 d_j (x-x_j) $$
Aus den Randbedingungen folgt aus $$ s_j(x_j) = s_j'(x_j) = s_j''(x_j) = 0  $$
$$ a_j = b_j = c_j = 0 $$
D.h. die Splines sehen so aus $$ S_j(x) = d_j (x-x_j)^3  $$
Jetzt muss ja noch gelten $$ (1) \quad s_1(0) = s_2(0) $$ $$ (2) \quad  s_1'(0) = s_2'(0) $$ und $$ (3) \quad  s_1''(0) = s_2''(0) $$
Aus (1) folgt $$ d_1(x+2)^3 = d_2(x-2)^3  $$ für \( x = 0 \) das \( 8 d_1 = - 8 d_2  \) gilt, also \( d_1 = -d_2 \)
Aus (2) folgt \( 12 d_1 = 12 d_2 \) also
$$ d_1 = d_2 = 0  $$
D..h. in Summe gilt $$  a_j = b_j = c_j = d_j = 0  $$

Comments

Wird s2 nicht so gebildet: d₂ *x^3,  da das doch normal von x=0 dann abhängt?

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Ich denke im Grunde genommen ist es egal wie das Polynim definiert ist. Es ist vom Grade 3 und es gibt die Bedingungen die am rande und in der Mitte gelten müssen. Und dann kommt raus, dass alle Koeffizienten 0 sind.