Untersuche die Funktion y(x)= -x^3+6x^2+36x auf Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelpunkte

Question

Folgende Aufgabe muss ich lösen:

Untersuchen Sie die Funktion auf Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelpunkte:

y(x)= -x³+6x²+36x

Vielen Dank für eine Lösung!

Christopher

Answer 1

f(x) = -x^3 + 6x^2 + 36x

f'(x) = -3x^2 + 12x + 36

f''(x) = - 6x + 12

f'''(x) = -6

 

Extrema: Notwendige Bedingung f'(x) = 0, hinreichende Bedingung f''(x) ≠ 0

f'(x) = -3x^2 + 12x + 36 = 0 | /(-3)

x^2 - 4x - 12 = 0

x1 = 2 + √(4 + 12) = 6

x2 = 2 - √(4 + 12) = -2

f''(6) = -36 + 12 < 0, also ein Maximum an der Stelle (6|f(6)) = (6|216)

f''(-2) = 12 + 12 > 0, also ein Minimum an der Stelle (-2|f(-2) = (-2|-40)

 

Sattelpunkt: f'(x) = 0 und f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0

f'(x) = 0 für x1 = 6 und x2 = -2

Aber f''(6) ≠ 0 und f''(-2) ≠ 0

Deshalb gibt es keine Sattelpunkte.

Comments

Hallo nochmal,

vielen Dank schon mal für die Lösung. Soweit ist mir alles klar, jedoch tue ich mir sehr schwer mit dem Nullstellen, also der Berechnung von x₁ und x_2.

Bsp: x1 = 2 + √(4 + 12) = 6

Wie kommt man auf diesen Ausdruck bzw. wo sind die x² und x hin?

Vielen Dank für eine Beantwortung!

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Ich habe dir mal eine Antwort unter meine Lösung geschrieben.

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Das ist die p-q-Formel, bei der x^2 vorn allein steht, also kein Vielfaches von x^2: 

x^2 + px + q = 0

Dann ist 

x1 = -p/2 + √(     (-p/2)^2 - q    )

und

x2 = -p/2 - √(     (-p/2)^2 - q   )

 

In unserem Falle

x^2 - 4x - 12 = 0

ist p = -4, also -p/2 = 2 und (-p/2)^2 = 4

und q = -12, also -q = 12

 

Stures Einsetzen führt dann zur Lösung :-)

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Super vielen  Stures Einsetzen hilft und ich habs kapiert! Ich weiss gar nicht, wie ich Ihnen danken kann.... ;-)
Schöne Grüße

Christopher

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Prima, dass ich Ihnen helfen konnte, Christopher!

- Und danke für die "beste Antwort" :-)

Answer 2

f(x) = - x^3 + 6·x^2 + 36·x
f'(x) = - 3·x^2 + 12·x + 36
f''(x) = 12 - 6·x

Extremstellen f'(x) = 0

- 3·x^2 + 12·x + 36 = 0
x^2 - 4·x - 12 = 0
x = 6 ∨ x = -2

Da wir hier 2 Extrema haben muss es sich um einen Hoch und Tiefpunkt handeln. Wäre es nur eine Extremstelle hätten wir ein Sattelpunkt.

Weil der Leitkoeffizient vor x^3 negativ ist haben wir bei -2 den Tiefpunkt und bei 6 den Hochpunkt.

f(-2) = -40 TP
f(6) = 216 HP

Skizze

Comments

Du hast Schwierigkeiten mit den Nullstellen ?

x² - 4·x - 12 = 0

Immer wenn du eine quadratische Gleichung der Form 

x^2 + px + q = 0

vorliegen hast, kannst du die pq-Formel nutzen. Sie lautet

x = -p/2 ± √((p/2)^2 - q)

p ist in diesem Fall -4 und q ist hier - 12. Setz es mal ein und schau ob du auf die Lösung kommst.

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Vielen Dank für Ihre Hilfe, ich habe es nun verstanden bzw. weiss ich nun endlich wie ich die Graphen zeichnen kann. Die Skizze war sehr hilfreich.

Schöne Grüße

Christopher